3.3.2 抛物线的简单几何性质-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

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3.3.2　抛物线的简单几何性质
【考点梳理】
考点一　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
对称轴 x轴x轴y轴y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
考点二　直线与抛物线的位置关系
直线 y＝kx＋b与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x的方程组解的个数，即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2
＝0解的个数．当 k≠0时，若 Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；
若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当 k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有 1
个公共点．
考点三　直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为 2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F的一条直线与它交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋ x 2＋ p ；③＋＝.
重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（ 为焦准距）
（1）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（2）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（3）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（4）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 .
【题型归纳】
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
1．（2021·江苏·高二专题练习）对抛物线 ，下列描述正确的是 (　　)
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
2．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期中）经过抛物线 的焦点和双曲线 的右焦点的直线方程为
（ ）
A． B．C．D．
3．（2021·全国·高二（文））点 到抛物线 的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
题型二：抛物线的对称性
4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线 与圆 交于 A，B两点，则 （ ）
A．2 B．C．4 D．
5．（2022·全国·高二课时练习）抛物线 与椭圆 交于 A，B两点，若 的面积为
(其中 O为坐标原点)，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线 ，以 为圆心，半径为 5的
圆与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
题型三：抛物线的弦长问题
7．（2022·广西贵港·高二期末（理））设抛物线 的焦点为 F，准线为 l，A为C上一点，以 F为
圆心， 为半径的圆交 l于M，N两点．若 ，且 的面积为 24，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知抛物线 的焦点为 F，准线为 ，过 的直线与抛
物线交于 A，B两点，与准线 交于 C点，若 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．12 C．4或16 D．4或12
9．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知 O是坐标原点，F是抛物线 C： 的焦点， 是 C上一点，
且 ，则 的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
题型四：抛物线的焦点弦性质问题
10．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知函数抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线
上，直线 交 轴于点 ，若 ，则点 到焦点 的距离为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
11．（2022·浙江金华第一中学高二期中）已知抛物线 ，圆 ，直线 与
交于 A
、
B两点，与 交于 M
、
N两点，若 ，则 ( )
A．B．C．D．
12．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知抛物线 的焦点为 F，直线 l的斜率为 且
经过点 F，直线 l与抛物线 C交于 A，B两点（点 A在第一象限），与抛物线的准线交于点 D，若 ，则以下
结论错误的是（ ）
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