3.3.1导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（原卷版）

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第三章导数

3.3.1 导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（题型战法）

题型战法

一对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参

数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利

用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

4、问题：对任意，均存在，使得成立，可转化为求参数的

取值范围。

二对于利用导数研究零点问题的求解策略：

1、研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数

零点的可能情况；

2、函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立

不同零点之间的关系，结合零点的存在性定理，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的

方法进行研究．

三对于利用导数证明不等式的求解策略：

1、不含参的不等式证明过程：移项，构造新函数，求函数的最值。

2、含 n的不等式证明：观察问题形式（或由前面的问题），得出所需构造的不等式，构造新函

数，利用函数的最值证明所构造的不等式成立，从而证明原不等式成立。

题型战法

题型战法一利用导数处理恒成立问题

典例 1．设函数．

(1)求的单调区间；

(2)若对任意的，都有成立，求实数 a的取值范围．

变式 1-1．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．

变式 1-2．已知函数（是正常数）.

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）若，，求的取值范围；

变式 1-3．已知函数 .

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，证明：时，当恒成立.

变式 1-4．已知函数

（1）求的极值点；

（2）若对任意恒成立，求的取值范围．

题型战法二利用导数处理能成立问题

典例 2．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极

大值．

(1)求函数；

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