3.2导数研究函数的单调性（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 63 4 304.38KB 8 页 3知币
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3.2 导数研究函数的单调性
【题型解读】
【知识储备】
1.函数的导数与单调性的关系
函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．
[常用结论]
1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且 f′(x)
在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
【题型精讲】
【题型一　不含参函数的单调性】
必备技巧 利用导数求函数单调区间的三种方法
1．当不等式 f′(x)>0 或f′(x)<0 可解时，确定函数的定义域，解不等式 f′(x)>0 或f′(x)<0 求出单调区间．
2．当方程 f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程 f′(x)＝0，求出实数根，把函数的实根按从大到小的
顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定 f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．
3．不等式 f′(x)>0 或f′(x)<0 及方程 f′(x)＝0均不可解时，根据 f′(x)的结构特征，构造新函数 g(x)，通过研究
g(x)的单调性来确定 f′(x)的符号，从而确定 f(x)的单调性．
例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）（1）函数 f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是(　　)
A．(－∞，e) B．(1，e)
C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)
（2）已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调递减区间是________．
（3）(2022·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间是_____
_________________．
例2　（2022·河南高三月考）已知 ，则函数 的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．（2022·天津·崇化中学期中）函数 的递增区间是（ ）
A．B．
C． ， D．
2. （2022·石嘴山市第三中学期末）函数 的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
3. （2022·重庆市育才中学高三月考）函数 的递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【题型二　含参函数的单调性】
例3　（2022·山东青岛高三期末节选）已知函数 ，讨论 的单调性；
例4　（2022·天津市南开中学模考）已知函数 ，记 的导函数为
，讨论 的单调性；
例5　（2022·广西南宁三中期末）已知函数 ，讨论 的单调性；
【题型精练】
1．（2022·天津市南开中学月考）已知函数 ，讨论 的单调性；
2. （2022·安徽省江淮名校期末）已知函数 ，讨论 的单调性；
3．（2022·河北张家口市·高三三模）已知 f(x)＝a(x－ln x)＋，a∈R.讨论 f(x)的单调性．
【题型三　已知函数单调性求参】
必备技巧 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集，转化为不等
式恒成立．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子
区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
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