3.2导数研究函数的单调性（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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3.2 导数研究函数的单调性

【题型解读】

【知识储备】

1.函数的导数与单调性的关系

函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则

(1)若f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．

[常用结论]

1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且 f′(x)

在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．

【题型精讲】

【题型一　不含参函数的单调性】

必备技巧利用导数求函数单调区间的三种方法

1．当不等式 f′(x)>0 或f′(x)<0 可解时，确定函数的定义域，解不等式 f′(x)>0 或f′(x)<0 求出单调区间．

2．当方程 f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程 f′(x)＝0，求出实数根，把函数的实根按从大到小的

顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定 f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．

3．不等式 f′(x)>0 或f′(x)<0 及方程 f′(x)＝0均不可解时，根据 f′(x)的结构特征，构造新函数 g(x)，通过研究

g(x)的单调性来确定 f′(x)的符号，从而确定 f(x)的单调性．

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）（1）函数 f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是(　　)

A．(－∞，e) B．(1，e)

C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)

（2）已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调递减区间是________．

（3）(2022·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间是_____

_________________．

【解析】（1）由f(x)＝x·ex－ex＋1，

得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，

令f′(x)>0，解得 x>e－1，

所以函数 f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．

（2）因为函数 f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，

所以 f′(x)＝ln x＋1(x>0)，

当f′(x)<0 时，解得 0<x<，即函数 f(x)的单调递减区间为.

（3）f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.

令f′(x)＝xcos x>0，

则其在区间(－π，π)上的解集为∪，

即f(x)的单调递增区间为和.

例2　（2022·河南高三月考）已知，则函数的单调减区间为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题可知，，且的定义域为，

则，

令，则，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则的最大值为：，

故恒成立，故在上恒成立，

所以在上单调递减，即函数的单调减区间为 .

故选：D.

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期中）函数的递增区间是（）

A．B．

C．， D．

【答案】A

【解析】由题意，函数，可得，

令，即，解得，所以函数的递增区间是 .故选：A.

2. （2022·石嘴山市第三中学期末）函数的单调递减区间为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】函数的定义域是，，令，解得：，

故函数在递减，故选：C．

3. （2022·重庆市育才中学高三月考）函数的递增区间为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，定义域为，

则，

令，则，所以，

所以函数的单调递增区间为 .

故选：C

【题型二　含参函数的单调性】

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