3.2.2 双曲线的简单几何性质-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.0 cande 2025-05-11 23 4 3.82MB 50 页 3知币
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3.2.2 双曲线的简单几何性质
【考点梳理】
考点一：双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围 x ≥ a
或
x ≤ － a y ≤ － a
或
y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e(1∈，＋∞)，其中 c＝
a，b，c间的关系 c2＝a 2
＋ b 2
(c>a>0，c>b>0)
考点二：等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是 y ＝ ± x ，离心率为.
考点三:直线与双曲线的位置关系
设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即 k＝±时，直线 l与双曲线 C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即 k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有 0
个公共点．
考点四：弦长公式
若斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为
所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
【题型归纳】
题型一：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距）
1．从某个角度观察篮球（如图 1），可以得到一个对称的平面图形，如图 2所示，篮球的外轮形状为圆 O，将篮
球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 O的交点将圆 O的周长八等分， ，
则该双曲线的焦距为（）
A．B．C．D．
2．若双曲线 的一条渐近线与直线 相互垂直，则双曲线 的两个焦点与虚轴的一个端
点构成的三角形的面积为（）
A．B．6 C．D．8
3．以双曲线 的焦点为椭圆 C的长轴顶点，且过点 的椭圆 C的方程为（）
A．B．
C．D．
题型二：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴）
4．已知点 是双曲线 的右焦点，过 F作双曲线 C的一条渐近线的垂线，垂足为
M，若△OMF（点 O为坐标原点）的面积为 8，则 C的实轴长为（）
A．8 B．C．6 D．
5．已知双曲线 以正方形 ABCD 的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正
方形 ABCD 的边长为 2，则 E的实轴长为（　　）
A．B．
C．D．
6．双曲线 ： 与双曲线 ： 的（）
A．实轴长相等 B．焦点坐标相同
C．焦距相等 D．离心率相等
题型三：等轴双曲线
7．双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线为 ，则该双曲线方程为（）
A．B．C．D．
8．双曲线 的一条渐近线方程为 ，则此双曲线的离心率为（）
A．2 B．C．3 D．
9．如图，设 F1，F2分别为等轴双曲线 x2－y2＝a2的左，右焦点，A为双曲线的左顶点，以 F1F2为直径的圆交双曲
线的一条渐近线于 M，N两点，则 cos∠MAN 等于(　　)
A．B．－
C．D．－
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