3.2.1导数的应用-单调性、极值、最值（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第三章 导数
3.2.1 导数的应用-单调性、极值、最值（题型战法）
知识梳理
一 求函数的单调性
一般地，从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；
函数 f (x)的单调性与导函数 f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f (x)：
f ′(x)
的
正负 f (x)
的
单调性
f ′(x)＞0单调递增
f ′(x)＜0单调递减
二 求函数的极值
1.极值点与极值
一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 D，设 x0∈D，如果对于 x0附近的任意不同于 x0的x，都有
（1）f(x)<f(x0)，则称 x0为函数 f(x)的一个极大值点，且 f(x)在x0处取极大值;
（2）f(x)>f(x0)，则称 x0为函数 f(x)的一个极小值点，且 f(x)在x0处取极小值.
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值
最大，极小值点在其附近函数值最小.
2．函数的导数与极值
（1）极小值点与极小值
若函数 y＝f (x)在点 x＝a的函数值 f (a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0 ，而且
在点 x＝a附近的左侧 f ′(x)＜0，右侧 f ′(x)＞0，就把点 a叫做函数 y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函
数y＝f (x)的极小值．
（2）极大值点与极大值
若函数 y＝f (x)在点 x＝b的函数值 f (b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在
点x＝b附近的左侧 f ′(x)＞0，右侧 f ′(x)＜0，就把点 b叫做函数 y＝f (x)的极大值点，f (b) 叫做函
数y＝f (x)的极大值．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
三 求函数的最值
1.函数的最值
(1)一般地，如果函数 y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极
值点；
(2)如果函数 y＝f(x)的定义域为[a，b] 且存在最值，函数 y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是
极值点，要么是区间端点 a或b.
2.求函数 f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数 y＝f (x)在区间(a，b)上的极值 ；
(2)将函数 y＝f (x)的各极值与端点处的函数值 f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值.
题型战法
题型战法一 利用导数求函数的单调区间
典例 1．函数 的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求导后，根据导函数的正负即可得到结果.
【详解】
由题意得：函数 的定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 .
故选：D.
变式 1-1．已知函数 ，则函数 的单调递增区间为（ ）
A．B． ，
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
判断定义域，求导函数，分析 的解，从而得单调递增区间.
【详解】
定义域为 ， ，
解得 ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 .
故选：C
变式 1-2．函数 的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，0）B．（0，2）C．（2，＋∞） D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 ，由 解出不等式可得答案.
【详解】
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