3.2 半角公式学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章

3.0 cande 2025-05-11 14 4 133.71KB 5 页 3知币
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3.2 半角公式
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、能应用二倍角余弦公式推导出半角公式。
2、能应用半角公式进行简单的恒等变换。
3、了解和差角公式、二倍角公式及半角公式的衍生
过程，体会三角恒等变换的基本思想。
重点：1、半角公式推导及应用。
2、半角公式的变形及应用。
难点：和差角公式、二倍角公式、半角公式
的逻辑关系。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材 P155“半角公式”部分
【复习回顾】
1、二倍角公式
sin 2 α=2sin αcos α(S2α)
cos 2 α=cos2α−sin2α(C2α)
tan 2 α=2 tan α
1−tan2α(T2α)
2、二倍角余弦公式的变形
cos 2 α=cos2α−sin2α
=2cos2α−1
=1−2 sin2α
思考：如何由角
2α
的余弦（即
cos 2 α
）表示角
α
的正弦和余弦（即
sin α
和
cos α
）？
分析：由
，得
cos2α=1+cos 2α
2
；
由
cos 2 α=1−2 sin2α
，得
sin2α=1−cos 2 α
2
。
两式相除，得
tan 2α=1−cos 2 α
1+cos 2 α
，所以，
tan α=±
√
1−cos 2 α
1+cos 2 α
。
由正切函数的定义，得
tan α=sin α
cos α=2sin αcos α
2 cos 2α=sin 2 α
1+cos 2 α
；
tan α=sin α
cos α=2 sin2α
2sin αcos α=1−cos 2 α
sin 2 α
。
【抽象概括】
1、半角公式
（1）半角正弦和余弦公式：
cos2α=1+cos 2 α
2
sin2α=1−cos 2 α
2
；（降幂公式）
（2）半角正切公式：
tan α=±
√
1−cos 2 α
1+cos 2 α
=sin 2 α
1+cos 2 α
=1−cos 2α
sin 2 α
。
注意：（1）半角公式不要求记忆，要求会推导，重点是两个降幂公式；
（2）半角的相对性，如
α
2
是
α
的半角，
2α
是
4α
的半角，等等。
例1求值：
（1）
sin π
8
； （2）
cos π
8
； （3）
tan π
8
。
解 ： （1）
∵cos π
4=1−2sin 2π
8=
√
2
2
，
∴sin 2π
8=2−
√
2
4
，
∴sin π
8=
√
2−
√
2
2
；
（2）
∵cos π
4=2 cos2π
8−1=
√
2
2
，
∴cos2π
8=2+
√
2
4
，
∴cos π
8=
√
2+
√
2
2
；
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