3.1导数的概念及切线问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 14 4 479.71KB 14 页 3知币
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3.1 导数的概念及切线问题
【题型解读】
【知识储备】
1.函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或
y′|x＝x0，即 f′(x0)＝ ＝
。
(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应
地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.函数 y＝f(x)的导函数
如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数 f′(x)＝
称为函数 y＝f(x)在开区间内的导函数.
3.导数公式表
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′.
【题型精讲】
【题型一　导数的运算】
必备技巧 导数运算技巧
1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
例1　（2022·山东济南高三期末）分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝；
(3)f(x)＝ln .
【解析】(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex.
(2)因为　y′＝′＝＝－.
(3)因为 y＝ln ＝ln，
所以 y′＝··(1＋2x)′＝.
例2　（2022·全国高三专题练习）已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】
，解得 ，
故答案为： .
【题型精练】
1．（2022·全国高三课时练习）求下列函数的导数：
（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3 .
【解析】（（1） ，所以， ；
（2） ；
（3）
.
2. （2022·全国高三课时练习）求下列函数的导数：
（1） ； （ 2） ； （ 3） ．（4） ；
（5） ．
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