2.6对数和对数函数（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 26 4 1.12MB 20 页 3知币
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2.6 对数和对数函数
【题型解读】
【知识储备】
1．对数的概念
如果 ax＝N(a>0 且a≠1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x ＝ log aN，其中__a__叫做对数的底数，_
_N__叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果 a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM ＋ log aN；
②loga＝logaM － log aN；
③logaMn＝n log aM (n∈R)；④ ＝logaM.
(2)对数的性质
① ＝__N__；② logaaN＝__N__(a>0 且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于 1)；
②logab＝，推广 logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
性质 (1)定义域：(0 ，＋ ∞ )
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即 x＝1
时，y＝0
(4)当x>1 时，y >0
当0<x<1 时，y <0
(5)当x>1 时，y <0
当0<x<1 时，y >0
(6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数
【题型精讲】
【题型一　对数的运算】
必备技巧 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的 lg 2＋lg 5＝1.
例1　（2022·济南市历城二中·月考）计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
(3)3
1+log
35
－2
4+log
23
＋103lg3＋
log
25
.
【解析】(1)原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg＝lg(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)3
1+log
35
－2
4+log
23
＋103lg3＋
log
25
＝3×3
log
35
－24×2＋(10lg3)3＋(2
log
25
)－1
＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－.
例2　（2022·内蒙古包头市·高三月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ，
， ，
.
故选：B.
例3　（2022·贵州遵义·高三开学考试）已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 .
故选：C
【题型精练】
1．（2022·浙江高三月考）化简求值：
（1） ．
（2） ；
（3） .
（4）
（5） ．
【答案】（1） 5（2）3（3）0（4）3（5）
【解析】（1） ．
（2） .
（3）
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