2.5指数和指数函数（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）
2.5 指数和指数函数
【题型解读】
【知识储备】
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当 为奇数时， ；当 为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是 (， ，且 )；
②正数的负分数指数幂的意义是 (， ，且 )；
③0的正分数指数幂等于 0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
① ；
② ；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数 (，且)叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）指数函数 的图象和性质
底数
图象
性质
定义域为 ，值域为
图象过定点
当 时，恒有 ；
当 时，恒有
当 时，恒有
；
当 时，恒有
在定义域 上为增函数 在定义域 上为减函数
注意
指数函数 (，且)的图象和性质与 的取值有关，应分
与 来研究
【题型精讲】
【题型一 指数的运算】
必备技巧 指数运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1 （2022·济南市历城二中·月考）计算： ＋0.002 －10(－2)－1＋π0＝ .
【答案】－
【解析】原式＝－2＋ －＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
例2 （2022·青岛市高三月考）化简： ＝
(a>0)．
【答案】a2
【解析】原式＝
例3 （2022·济南市高三月考）已知 ，求下列各式的值．
（1） ；（2） ；（3） .
【答案】（1）7；（2）47；（3）6.
【解析】（1）将 两边平方得 ，所以 ．
（2）将 两边平方得 ，所以 ．
（3）由（1）（2）可得
【题型精练】
1．（2022·全国高三专题练习）计算 =__________
【答案】18
【解析】原式
故答案为：18
2．（2022·全国高三专题练习）化简 ＝________.
【答案】
【解析】原式＝2× .故答案为： .
3. （2022·全国·高三专题练习）化简：
（1）
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