2.3函数的奇偶性、周期性、对称性（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性

【题型解读】

【知识储备】

1．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x，

都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f (x)就叫做偶函数关于 y

轴对称

奇函数一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x，

都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f (x)就叫做奇函数关于原点对称

2.周期性

(1)周期函数：对于函数 y＝f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋

T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f (x)为周期函数，称 T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数 f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x)的

最小正周期．

3．与函数周期有关的结论：

(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2a；

(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2a；

(3)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为 2a；

(4)若f(x＋a)＝，则函数的周期为 2a；

(5)若函数 f(x)关于直线 x＝a与x＝b对称，那么函数 f(x)的周期为 2|b－a|；

(6)若函数 f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数 f(x)的周期是 2|b－a|；

(7)若函数 f(x)关于直线 x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数 f(x)的周期是 4|b－a|；

(8)若函数 f(x)是偶函数，其图象关于直线 x＝a对称，则其周期为 2a；

(9)若函数 f(x)是奇函数，其图象关于直线 x＝a对称，则其周期为 4a.

4、函数对称性（异号对称）

（1）轴对称：若函数关于直线对称，则

① ；

② ；

③

（2）点对称：若函数关于点对称，则

①

②

③

（3）点对称：若函数关于点对称，则

①

②

③

【题型精讲】

【题型一　判断函数奇偶性的两种方法】

必备技巧判断函数的奇偶性

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．

(2)判断 f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

例1　(安老师改编山东高考)判断下列函数的奇偶性：

①f(x)＝xlg(x＋)；② f(x)＝(1－x) ；

③f(x)＝④ f(x)＝.

【解析】①∵>|x|≥0，∴函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，

又f(－x)＝(－x)lg(－x＋)＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)，

即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

②当且仅当≥0时函数有意义，∴－1≤x<1，由于定义域关于原点不对称，∴函数 f(x)是非奇非偶函数．

③函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，

当x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．

④∵⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数的定义域关于原点对称，

∴f(x)＝＝.又f(－x)＝＝－，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．

例2　（2022·江苏·高三单元测试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定

正确的是（）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】C

【解析】令，则 ,且，

既不是奇函数，也不是偶函数，故 A、B错误；

令，则 ,且，

是奇函数，不是偶函数，故 C正确、D错误；

故选：C

【题型精练】

1. （2022·广东高三模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；

B. 在上单调递减，故错误；

C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；

D.因为，所以函数是偶函数，故错误；

故选： C．

2．（2022·全国·高三专题练习）设 f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为 R，下列结论错

误的是(　　)

A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数

C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数

【答案】D

【解析】f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．

|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，

所以 f (x)g(x)为奇函数，B正确；f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，所以 f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；

f (x)＋g(x)＝2ex，f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，

所以 f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选 D.

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