2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（原卷版）

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第二章 函数
2.3.1 函数的周期性与对称性（题型战法）
知识梳理
一 函数的周期性
函数 满足定义域内的任一实数 (其中
y=dx
为常数)
(1)
y=cx
，则
y=bx
是以
y=ax
为周期的周期函数；
(2)
[f(x)]2+bf (x)+c=0
, 则
x12+x22+x32
是以
T=|a+b|
为周期的周期函数；
(3) ，则 是以 为周期的周期函数；
(4) ，则 是以
为周期的周期函数；
二 函数的对称性
轴对称：若 则 f(x)关于
x=a+b
2
对称.
中心对称：若 则 f(x)关于(
a+b
2
，m) 对称.
三 由对称性推周期性
(1) 函数 满足 （ ），
①若
f(x)=−f(x+1)
为奇函数，则函数
x∈[0,1 ]
周期为
f(x)=x
，②若
g(x)=|lg x|
为偶函数，则函数
f(x)=g(x)
周期为 .
(2) 函数
R
的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以
为最小正周期的周期函数；
(3) 函数
R
的图象关于两点
f(x−1)=f(x+1)
,
g(x)=2x+5
x+2
都对称，则函数
f(x)=g(x)
是以
[−7,3 ]
为最小正周期的周期函数；
(4) 函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以 为
最小正周期的周期函数；
题型战法
题型战法一 周期性与对称性的判断
典例 1．下列函数是周期函数的有（）
①②③
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
变式 1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）
A．B．C．D．
变式 1-2．函数 与 的图象（）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线 对称
变式 1-3．函数 的图像（）
A．关于直线 对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D．关于 轴对称
变式 1-4．函数 的图象关于（）对称.
A．直线 B．原点 C． 轴 D． 轴
题型战法二 由函数周期性求函数值
典例 2．已知函数 为 R上的偶函数，若对于 时，都有 ，且当
时， ，则 等于（）
A．1 B．-1 C．D．
变式 2-1．定义在 R上的函数 满足 ，当 时， ，则
（）
A．B．C．2 D．1
变式 2-2．已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 .且当 时，
，则 的值为（）
A．B．C．1 D．2
变式 2-3．已知定义在 上的偶函数 ，对 ，有 成立，当 时，
，则 （）
A．B．C．D．
变式 2-4．已知函数 是定义在 上的奇函数， （1） ，且 ，则
的值为（）
A．0 B．C．2 D．5
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