2.3 辅助角公式及其应用学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章

3.0 cande 2025-05-11 11 4 118.64KB 5 页 3知币
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2.3 辅助角公式及其应用
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、能逆用
Sα+β
，
Sα−β
，
Cα+β
，
Cα−β
化简
三角函数式，并总结出“辅助角”公式。
2、会利用“辅助角”公式化简三角函数式。
3、掌握形如函数
f(x)=asin x+bcos x
(ab≠0)
的
图像与性质。
重点：1、“辅助角”公式的推导及其应用。
2、函数
f(x)=asin x+bcos x
图像与性
质。
难 点 ： “ 辅 助 角 ” 公 式 的 推 导 及
图像与性质。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材 P148“三角函数的叠加及其应用”部分
【复习导入】
1、两角和与差的余弦公式
cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β(Cα+β)
cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β(Cα−β)
公式特征：同名积异号连，余余正正，余在前。
2、两角和与差的正弦公式
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β(Sα+β)
sin (α−β)=sin αcos β−cos αsin β(Sα−β)
公式特征：异名积同号连，正余余正，正两边。
3、两角和与差的正切公式
tan (α+β)=tan α+tan β
1−tan αtan βTα+β
tan (α−β)=tan α−tan β
1+tan αtan βTα−β
公式特征：子同母异符号连，楼上隔开两正间（谐“切”），
楼下一人积两间（谐“切”）。
思考：正用和、差角公式，可以把
α±β
的三角函数转化为
α
，
β
的三角
函数，从而可由
α
，
β
的三角函数值求得
α±β
的三角函数；如果逆用公
式，是不是可以将三角函数式化简？
问题 1：如何将下列三角函数式化简？
（1）
sin 300cos x+cos 300sin x=
；
（2）
sin 450sin x−cos 450cos x=
；
（3）
1
2
sin x−
√
3
2
cos x=
或 ；
（4）
√
3 sin x+cos x=
或 ；
（5）
sin x−cos x=
或 。
问题 2：如何将
asin x+bcos x
(ab≠0)
化简？
分析：
asin x+bcos x
=
√
a2+b2(a
√
a2+b2
sin x+b
√
a2+b2
cos x)
由于
(a
√
a2+b2)2+( b
√
a2+b2)2=1
，所以，引入辅助角
ϕ
，使得
cos ϕ=a
√
a2+b2
，
sin ϕ=b
√
a2+b2
，
所以，
asin x+bcos x
=
√
a2+b2(cos ϕsin x+sin ϕcos x)
=
√
a2+b2sin (x+ϕ)
（其中
tan ϕ=b
a
）。
于是，得
asin x+bcos x
=
√
a2+b2sin (x+ϕ)
（其中
tan ϕ=b
a
）；
同理：
as in x+bcos x
=
√
a2+b2cos(x−ϕ)
（其中
tan ϕ=a
b
）。
上面两个公式，统称为辅助角公式。公式推导的方法，称为“配方法”，
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