2.2函数的单调性和最值、值域（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

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2.2 函数的单调性和最值、值域
【题型解读】
【知识储备】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上
的任意两个自变量的值 x1，x2
当x1<x2时，都有 f ( x 1)< f ( x 2)，那么
就说函数 f(x)在区间 D上是增函
数
当x1<x2时，都有 f ( x 1)> f ( x 2)，那么
就说函数 f(x)在区间 D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区
间
D
叫做 y＝f(x)的单调区间．
（3）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数 和 ，如果当 时， ，且 在区间 上和
在区间 上同时具有单调性，则复合函数 在区间 上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
条件 (1)对于任意的 x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ；
(2)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M
(1)对于任意的 x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；
(2)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M
结论 M为最大值 M为最小值
【题型精讲】
【题型一　函数单调性判断】
必备技巧 确定函数单调性的五种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不
连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质．
(5)复合函数“同增异减”的原则，需先确定简单函数的单调性．
例1　（2022·全国·高三专题练习）讨论函数 （ ）在 上的单调性.
例2　（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是
例3　（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（|||||||）
A．B．
C．D．
例4　（2022·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）已知 ，则 的单调增区间为
例5　（2022·天津静海区月考）函数 的单调减区间为___________
【题型精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数 f（x）lg ．判断并证明函数 f（x）的单调性；
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 单调递减区间是（|||||||）
A．B．C．D．
3. （2021·全国·高一专题练习）函数 的增区间是
A．B．C．D．
【题型二　函数单调性比较大小】
例6　（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数 是定义在 R上的偶函数，对任意两个不相等的正数
，都有 ，记 ，则（ ）
A．B．C．D．
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