2.2.1函数的单调性与奇偶性（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第二章 函数
2.2.1 函数的单调性与奇偶性（题型战法）
知识梳理
一 函数的单调性
1. 单调性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量 ，
当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数；如果对于定义域 内某个
区间 上的任意两个自变量 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上
是减函数。
2.单调性的注意事项
1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开 ，
即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。
2. 若 函 数 满 足 ， 则 函 数 在 该 区 间 单 调 递 增 ； 若 满 足
(7
2)
，则函数在该区间单调递减。
3. 函数单调性的判断方法主要有：
(1) 定义法：在定义域内的某个区间 上任取 并使得 ，通过作差比较 与 的大
小来判断单调性。
(2) 性质法：若函数 为增函数， 为增函数， 为减函数， 为减函数，则有
① 为增函数，② 为增函数，
③ 为减函数，④ 为减函数。
(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数
的单调性。
二 函数的奇偶性
一.函数奇偶性的定义：
(1)对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 函数 是偶函数；
(2)对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 函数 是奇函数。
二．函数奇偶性的相关性质
1.奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是:奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
2.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
3.常用的结论：若 是奇函数，且 在 0处有定义，则 ;
4.(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反;奇函数
在区间 上单调递增(减)，则 在区间 上也是单调递增(减)；
(2)偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同;偶函数 在
区间 上单调递增(减)，则 在区间 上是单调递减(增)；
5.若函数 是奇函数,是奇函数 ，定义域都是关于原点对称的
(1) 是奇函数, (2) 或 是偶函数
(3) 是偶函数, (4) 是偶函数
6.若函数 是偶函数,是偶函数 ，定义域都是关于原点对称的
(1) 是偶函数, (2) 或 是偶函数
(3) 是偶函数, (4) 是偶函数
7.若函数 是奇函数,是偶函数，定义域都是关于原点对称的
(1) 是非奇非偶函数, (2) 或 是奇函数
8. 若函数 是偶函数,是奇函数 ，定义域都是关于原点对称的
(1) 是是偶函数 (2) 是非奇非偶函数,
9.若函数 ，定义域都是关于原点对称
(1) 是奇函数时， 奇函数，则
f(x)
是奇函数；
(2)
(0,+∞)
是奇函数时，
x∈(0,+∞)
偶函数，则
f[f(x)−log2x]=3
是偶函数；
题型战法
题型战法一 单调性与奇偶性的判断
典例 1．下列函数既是偶函数又在 上单调递减的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.
【详解】
解析：A项 ，B项 均为定义域上的奇函数，排除；
D项 为定义域上的偶函数，在 单调递增，排除；
C项 为定义域上的偶函数，且在 上单调递减.
故选：C.
变式 1-1．下列函数中，既是偶函数又在 上是单调递增函数的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性与单调性的概念逐一判断
【详解】
对于 A，函数为偶函数，且在 上单调递增，满足题意
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