2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章

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2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、能借助诱导公式由两角和与差的余弦公式推导
出两角和与差的正弦公式。
2、能借助同角三角函数基本关系，由两角和与差
的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公
式。
3、熟记两角和与差的正弦、正切公式的形式及其
符号特征，并能应用公式进行化简、求值、证
明。
重点：1、两角和与差的正弦、正切公式推
导。
2、两角和与差的正弦、正切公式的应
用。
难点：两角和与差的正弦、正切公式的推导方
法及其应用。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材 P145“两角和与差的正弦、正切公式及其应用”部分
【复习导入】
1、两角和与差的余弦公式
cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β(Cα+β)
cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β(Cα−β)
公式特征：同名积异号连，余余正正，余在前。
2、变名诱导公式
（1）
sin (π
2−α)=cos α
，
cos (π
2−α)=sin α
；
（2）
sin (π
2+α)=cos α
，
cos (π
2+α)=−sin α
；
（3）
sin (3π
2−α)=−cos α
，
cos (3π
2−α)=−sin α
；
（4）
sin (3π
2+α)=−cos α
，
。
思考：如何借助诱导公式，根据两角和与差的余弦公式，推导两角和与差
的正弦公式？
sin (α+β)=cos[π
2−(α+β)]
=cos [( π
2−α)−β]
=cos (π
2−α)cos β+sin (π
2−α)sin β
=sin αcos β+cos αsin β
，
于是，得
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β
。
同理：
sin (α−β)=sin αcos β−cos αsin β
。
【抽象概括】
1、两角和与差的正弦公式
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β(Sα+β)
sin (α−β)=sin αcos β−cos αsin β(Sα−β)
公式特征：正弦公式异名积同号连，正余余正，正两边。
思考：如何根据公式
Sα+β
，
Sα−β
和
Cα+β
，
Cα−β
推导两角和与差的正切公式？
tan (α+β)=sin (α+β)
cos (α+β)
=sin αcos β+cos αsin β
cos αcos β−sin αsin β
=
sin αcos β
cos αcos β+cos αsin β
cos αcos β
1−sin αsin β
cos αcos β
（齐次式，弦化切）
=tan α+tan β
1−tan αtan β
，
于是，得
tan (α+β)=tan α+tan β
1−tan αtan β
。
同理：
tan (α−β)=tan α−tan β
1+tan αtan β
。
2、两角和与差的正切公式
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