2.1函数的概念及其表示（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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2.1 函数的概念及其表示
【题型解读】
【知识储备】
1．函数的概念
一般地，设 A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x在集合
B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合 B的一个函数，记作 y＝
f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫
做函数值，函数值的集合{ f ( x )| x ∈ A } 叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段
函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，
值域等于各段函数的值域的并集．
【题型精讲】
【题型一　函数的概念】
必备技巧 函数的概念
(1)函数的定义要求第一个非空数集 A中的任何一个元素在第二个非空数集 B中有且只有一个元素与之对应，
即可以“多对一”，不能“一对多”，而 B中有可能存在与 A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系
即可.
例1　（2022·湖南·高三课时练习）设集合 ， ，那么下列四个图形中，能
表示集合 到集合 的函数关系的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为 ，
对于①中，函数的定义域不是集合 ，所以不能构成集合 到集合 的函数关系；
对于②中，函数的定义域为集合 ，值域为集合 ，所以可以构成集合 到集合 的函数关系；
对于③中，函数的定义域为集合 ，值域为集合 ，所以可以构成集合 到集合 的函数关系；
对于④中，根据函数的定义，集合 中的元素在集合 中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不
正确.
故选：C
例2　（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（˜˜˜˜˜˜˜）
A． ，
B．
C． ，
D． ， ，0， ， ， ，0，
【答案】D
【解析】对于 A： 的定义域是 ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于 B： ， ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于 C： 的定义域为 ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于 D： 对应点的坐标为 ， ， ， 对应点的坐标为 ， ， ，两个函
数对应坐标相同，是同一函数，
故选：D．
【题型精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（˜˜˜˜˜˜˜）
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，
显然只有（2）不满足.
故选：C.
2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中， ， 是同一函数的是
（˜˜˜˜˜˜˜）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】D
【解析】
解：对于 A选项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不满足；
对于 B选项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不满足；
对于 C选项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不满足；
对于 D选项， ， 的定义域均为 ，对应关系均为 ，故是同一函数.
故选：D
【题型二　函数的定义域】
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