2.1 两角和与差的余弦公式及其应用学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章

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b
a
A
O
B
共起点
§2 两角和与差的三角函数式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、理解用向量法推导出两角差的余弦公式的过
程。
2、掌握由两角差的余弦公式推导两角和的余弦公
式的方法。
3、熟记两角和与差的余弦公式的形式及其符号特
征，并能应用公式进行求值、计算。
重点：1、两角和与差的余弦公式及其应用。
2、两角和与差的余弦公式的推导。
难点：两角和与差的余弦公式的推导方法。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
【预备知识】
1、向量的夹角
范围：
⟨
⃗
a，
⃗
b⟩=θ∈[00，1800]
2、数量积的定义
⃗
a⋅
⃗
b=|
⃗
a||
⃗
b|cos ⟨
⃗
a，
⃗
b⟩
。
特别地，当向量
⃗
a
和
⃗
b
为单位向量时，则
⃗
a⋅
⃗
b=cos ⟨
⃗
a，
⃗
b⟩
。
3、数量积的坐标表示
若
⃗
a=( x1，y1)
，
⃗
b=( x2，y2)
，则
。
思考：由
450
和
300
的正弦和余弦能求
750
，
150
的正弦和余弦？下式成立吗？
sin 750=sin 45 0+sin 300
，
cos 750=cos 450+cos 300
；
O
x
A
B
y
图1
图2
O
x
A
B
y
sin 150=sin 45 0−sin 300
，
cos 150=cos 450−cos 300
。
一、阅读教材 P143“两角和与差的余弦公式及其应用”部分
已知任意角
α
，
β
，不妨设
α≥β
。
设角
α
，
β
的终边与单位圆分别交于点
A
，
B
，则
A(cos α，sin α)
，
B(cos β，sin β)
，
所以，
⃗
OA=(cos α，sin α)
，
⃗
OB=(cos β，sin β)
。
（1）若
0≤α−β≤π
（如图 1），则
⃗
OA
与
⃗
OB
的夹角
θ=α−β
，
由数量积定义知
⃗
OA⋅
⃗
OB=|
⃗
OA||
⃗
OB|cos θ=cos θ
=cos (α−β)
，
由数量积的坐标表示知
⃗
OA⋅
⃗
OB=cos αcos β+sin αsin β
所以
cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β
。
（2）若
π<α−β<2π
（如图 2），则
⃗
OA
与
⃗
OB
的夹角
θ=2π−(α−β)
，
由数量积定义及诱导公式知
⃗
OA⋅
⃗
OB=|
⃗
OA||
⃗
OB|cos θ=cos θ
=cos [2π−(α−β)]=cos(α−β)
，
所以，同样有
cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β
。
（3）若
α−β≥2π
（如图 3），
⃗
OA
与
⃗
OB
的夹角
θ=|(α−β)−2kπ|
，
由数量积定义及诱导公式知
⃗
OA⋅
⃗
OB=|
⃗
OA||
⃗
OB|cos θ=cos θ
=cos [|(α−β)−2kπ|]=cos (α−β)
，
所以，同样有
cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β
。
于是，得到了两角差的余弦公式：
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