1.5基本不等式8大题型（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

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1.5 基本不等式 8大题型
【题型解读】
【知识储备】
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b
时取等号．
(3)其中叫做正数 a，b的算术平均数，叫做正数 a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y
时，和 x＋y有最小值 2.(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y
时，积 xy 有最大值.(简记：和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
【题型精讲】
【题型一　基本不等式及其应用】
例1　（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例2　（多选题）（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设 ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. （2022·宁夏·银川一中二模）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知 ，则以下不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【题型二　直接法求最值】
例3　（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若 x，y为实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．18 B．27 C．54 D．90
例4　（2022·河北·高三阶段练习）已知实数 a，b满足条件 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【题型精练】
1．（2022·湖北十堰·三模）函数 的最小值为（ ）
A．4 B．C．3 D．
2. （多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数 m，n满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 上的最小值为 2 B． 的最大值为 1
C． 的最大值为 4 D． 的最小值为
【题型三　凑配法求最值】
必备技巧 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　
例5　（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数 的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
例6　（2022·上海虹口·高三期末）已知 ，则 的最大值为______．
【题型精练】
1．（2022·北京大兴·高一期末）当 时， 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2. （2022·全国·高三专题练习）（1）求函数 的最小值及此时 的值；
（2）已知函数 ， ，求此函数的最小值及此时 的值.
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