1.5基本不等式8大题型（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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1.5 基本不等式 8大题型
【题型解读】
【知识储备】
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b
时取等号．
(3)其中叫做正数 a，b的算术平均数，叫做正数 a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．利用基本不等式求最值
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y
时，和 x＋y有最小值 2.(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y
时，积 xy 有最大值.(简记：和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
【题型精讲】
【题型一　基本不等式及其应用】
例1　（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，故 A错误；
只有在 时才成立，故 B错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故 C错误；
因为 ，所以 ，故 D正确.
故选：D.
例2　（多选题）（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设 ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于 A选项， ，
当且仅当 时，等号成立，A对；
对于 B选项，取 ，则 ，B错；
对于 C选项， ， ，
所以， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，C对；
对于 D选项，因为 ，则 ，
所以， ，当且仅当 时，两个等号同时成立，D对.
故选：ACD.
【题型精练】
1. （2022·宁夏·银川一中二模）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于 A选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于 B选项， 成立的条件为 ，故错误；
对于 C选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于 D选项，由于 ，故 ，正确.
故选：D
2．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知 ，则以下不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】对于 A，因为 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，故 A错误；
对于 B，
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