1.4不等式的性质及一元二次不等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

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1.4 不等式的性质及一元二次不等式

【题型解读】

【知识储备】

1．不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性 a>b⇔b < a ⇔

传递性 a>b，b>c⇒a > c ⇒

可加性 a>b⇔a ＋ c > b ＋ c ⇔

可乘性

⇒ac > bc 注意 c的符号

⇒ac < bc

同向可加性 ⇒a ＋ c > b ＋ d ⇒

同向同正可乘性 ⇒ac > bd ⇒

可乘方性 a>b>0⇒a n

> b n

(n∈N＋，n>1)

a，b同为正数

可开方性 a>b>0⇒>(n∈N＋，n>1)

2．两个实数比较大小的方法

(1)作差法 (a，b∈R)

(2)作商法 (a∈R，b>0)

3．一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2

的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般

形式是 ax2＋bx＋c>0 或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．

4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0Δ<0

二次函数 y＝ax2＋

bx＋c(a>0)的图象

方程 ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根

有两个不相等的实数

根x1，x2(x1<x2)

有两个相等的实数根

x1＝x2＝－没有实数根

ax2＋bx＋c>0(a>0)

的解集 { x | x < x 1

或

x > x 2}R

ax2＋bx＋c<0(a>0)

的解集 { x | x 1< x < x 2}∅ ∅

5.分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔f ( x ) g ( x )>0(<0) ；

(2)≥0(≤0)⇔f ( x ) g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且

g ( x ) ≠ 0 .

【题型精讲】

【题型一　不等式性质的应用】

必备技巧判断不等式的常用方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

(2)利用特殊值法排除错误答案．

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数

等函数的单调性来比较．

例1　（2022·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（）

A．< B．a2>b2

C．> D．a|c|>b|c|

例2　（2022·浙江模拟）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（）

A．B．C．D．

【题型精练】

1. （2022·北京海淀·二模）已知，且，则（qqqqqqq）

A．B．

C．D．

2．（多选题）（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（qqqqqqq）

A．B．C．D．

【题型二　比较数（式）的大小】

必备技巧比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与 1的大小关系；④得出结论．

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

例3　（2022·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.

例4　（2022·湖南·高三课时练习）比较与的大小．

例5　（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系

为（）

A．B．

C．D．

【题型精练】

1．（2022·重庆·模拟预测）若，则（）

A．B．

C．D．

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