1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
【考点梳理】
考点一：空间向量中的距离问题
1.点P到直线 l 的距离
已知直线 l的单位方向向量为 u，A是直线 l上的定点，P是直线 l外一点，设向量AP在直线 l上的投影向量为AQ＝
a，则点 P到直线 l的距离为
2.点P到平面 α的距离
设平面 α的法向量为 n，A是平面 α内的定点，P是平面 α外一点，则点 P到平面 α的距离为．
考点二：空间向量中的夹角问题
角的分类 向量求法 范围
两条异面直
线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为 θ，其方向向量
分别为 u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面
所成的角
设直线 AB 与平面 α所成的角为 θ，直线 AB 的
方向向量为 u，平面 α的法向量为 n，则 sin θ
＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的
夹角
设平面 α与平面 β的夹角为 θ，平面 α，β的法
向量分别为 n1，n2，则 cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|
＝
【题型归纳】
题型一：点到平面的距离的向量求法
1．（2022·浙江省淳安中学高二期中）如图，已知三棱锥 ， 平面 ， ， ，
，.、 分别为 、 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
2．（2022·江苏常州·高二期中）如图，底面为正方形的平行六面体 的各个棱的长度均为
，平面 平面 分别是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 C到面 的距离.
题型二：平行平面的距离的向量求法
3．（2021·全国·高二课时练习）如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 4，点 M，N，E，F分别为
A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，
（1）证明：平面 AMN∥平面 EFBD；
（2）求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离．
4．（2022·全国·高二）如图，已知正方体 的棱长为 2，E，F，G分别为 AB，BC， 的中点．
(1)求证：平面 平面 EFG；
(2)求平面 与平面 EFG 间的距离．
题型三：异面直线夹角的向量求法
5．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图所示，在四棱维 中， 面
，且 PA=AB=BC= =2.
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