1.4.1均值不等式及其应用（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）(解析版)

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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）
知识梳理
1．算术平均值与几何平均值
给定两个正数 ，数 称为 的算术平均值；数 称为 的几何平均值．
2．均值不等式
如果 都是正数，那么 ，当且仅当 时，等号成立．
3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等”
一正：各项必须为正。
二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定
三等：必须验证等号成立的条件。
4.均值不等式相关拓展推式：
（1）
（2）
a2+b2≥2ab
（3）
a+1
a≥2(a>0)
（4）
题型战法
题型战法一 均值不等式的内容及辨析
典例 1．下列不等式恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】
解：对于 A选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于 B选项， 成立的条件为 ，故错误；
对于 C选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于 D选项，由于 ，故 ，正确.
故选：D
变式 1-1．已知 x，y都是正数，且 ，则下列选项不恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断．
【详解】
x，y都是正数，
由基本不等式， ， ， ，这三个不等式都是当且仅当 时
等号成立，而题中 ，因此等号都取不到，所以 ABC 三个不等式恒成立；
中当且仅当 时取等号，如 即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
变式 1-2．已知 ， ，则下列式子一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】
对于 A选项，由基本不等式可得 ，A错；
对于 B选项，因为 ，所以 ，
所以， ，故 ，B错；
对于 C选项，因为 ， ，由基本不等式可得 ，
所以， ，C错；
对于 D选项，因为 ， ，
由不等式的性质可得 ，则 ，
所以， ，D对.
故选：D.
变式 1-3．对于 ， ，下列不等式中不成立的是（）
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