1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

【考点梳理】

考点一：空间中点、直线和平面的向量表示

1.空间中点的位置向量

如图，在空间中，我们取一定点 O作为基点，那么空间中任意一点 P就可以用向量OP来表示．我们把向量OP称

为点 P的位置向量．

2.空间中直线的向量表示式

直线 l的方向向量为 a ，且过点 A.如图，取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P在直线 l上的充要条件是存在实

数t，使

OP＝OA＋ta，①

把AB＝a代入①式得

OP＝OA＋tAB，②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

3.空间中平面的向量表示式

平面 ABC 的向量表示式：空间一点 P位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC.我们

称为空间平面 ABC 的向量表示式．

考点二　空间中平面的法向量

平面的法向量

如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量 a ，我们称 a为平面 α的法向量；过点 A且以 a为法向量的平面完全确

定，可以表示为集合 {P|a·AP＝0}．

考点三：　空间中直线、平面的平行

1.线线平行的向量表示

设u1，u2分别是直线 l1，l2的方向向量，则

l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得 u1＝λu2.

2.线面平行的向量表示

设u是直线 l 的方向向量，n是平面 α的法向量，l⊄α，则

l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.

面面平行的向量表示

设n1 ，n2 分别是平面 α，β的法向量，则

α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得 n1＝λn2 .

考点四：空间中直线、平面的垂直

1.线线垂直的向量表示

设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则

l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

2.　线面垂直的向量表示

设u是直线 l 的方向向量，n是平面 α的法向量， l⊄α，则 l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得 u＝λn.

知识点三　面面垂直的向量表示

设n1，n2 分别是平面 α，β的法向量，则

α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

【题型归纳】

题型一：平面的法向量的求法

1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线过点，平行于向量，平面经过直线

和点，则平面的一个法向量的坐标为（）

A．B．C．D．

2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面经过点和，是平面的

法向量，则实数（）

A．3 B．C．D．

3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平

面，．平面的法向量为（）

A．B．C．D．

题型二：空间中点、直线和平面的向量表示

4．（2021·全国·高二专题练习）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，

，.对于结论：① ；② ；③ 是平面的法向量；④ .

其中正确的是（）

A．②④ B．②③ C．①③ D．①②

5．（2022·全国·高二）已知平面 α内有一点 A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点 P中，在平面 α

内的是（　　）

A．(1，－1,1) B．(1,3，)

C．(1，－3，) D．(－1,3，－ )

6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有

，则，，是 , , , 四点共面的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

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