1.3复数（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 21 4 393.57KB 7 页 3知币
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1.3 复数
【题型解读】
【知识储备】
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a叫做复数
z的实部，b叫做复数 z的虚部(i 为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b ＝ 0
a＋bi为虚数⇔b ≠ 0
a＋bi为纯虚数⇔a ＝ 0
且
b ≠ 0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c
且
b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi的模，记作| a ＋ b i| 或| z | ，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数 z＝a＋bi与复平面内的点 Z ( a ， b ) 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2
＝OZ2－OZ1.
4．复数的三角形式
如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)．
任何一个复数 z＝a＋bi都可以表示成 z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．我们把 r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形
式．
对应于复数的三角形式，把 z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：已知复数 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则
z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
【题型精讲】
【题型一　复数的有关概念】
必备技巧 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为
代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
例1　（2022·安徽淮北·一模）若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B． 在复平面内对应的点在第四象限
C．D． 的共轭复数为
例2　（2022·安徽黄山·二模）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
例3　（2022·辽宁·二模）设 （i为虚数单位），若 为实数，则 a的值为（ ）
A．2 B．C．1 D．
【题型精练】
1. （2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数 ，其中 是虚数单位， ，下列选项中正
确的是（ ）
A．若 是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若 为实数，则
C．若 在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当 时，
2．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数 ， ，若 为实数，
则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C． 为纯虚数 D． 对应的点位于第三象限
3．（2022·江西鹰潭·一模）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 的虚部为
（ ）
A．1 B．C．2 D．
4. （2022·内蒙古赤峰·三模）若复数 满足 ，则（ ）
A．
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