1.3.1 不等式的性质与解法（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）(解析版)

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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.3.1 不等式的性质与解法（题型战法）
知识梳理
一 不等式及其性质
1．比较实数大小
（1）如果 是正数，那么 ；如果 等于零，那么 ；如果 是负数，那么 ，反
过来也对．
（2）符号表示： ⇔； ⇔； ⇔.
2.不等式的性质
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：
同向可加性：
异向可减性：
（4）可积性：
（5）同向正数可乘性：
异向正数可除性：
（6）平方法则：
（7）开方法则：
（8）
倒数法则：
a>b>0⇒1
a<1
b;a<b<0⇒1
a>1
b
3.不等式的证明方法
（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．
（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显
成立的事实，从而得出要证的命题成立．
（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．
二 不等式的解法
1.不等式的解集与不等式组的解集
（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
（2）不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不
等式组的解集．
注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为∅时，则不等式组的解集为∅.
2.绝对值不等式
绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
3．一元二次不等式的解法：
（1）图像法
（2）因式分解法
一般地，如果 x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0 的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0 的解集是(－
∞，x1)∪(x2，＋∞)．
题型战法
题型战法一 不等式的性质
典例 1．下列说法正确的是（）
A．若 ，
c>d
，则
a−2c>b−2d
B．若 a，
b∈R
，则
a
b+b
a≥2
C．若
a>b>0
，
，则
b
a<b+m
a+n
D．若 ，则
a2>b2
【答案】C
【解析】
【分析】
结合特殊值、差比较法确定正确选项.
【详解】
A：令
a=2
，
b=1
；
c=1
，
d=0
，则
a−2c=0
，
b−2d=1
，不满足
a−2c>b−2d
，故 A错误；
B：a，b异号时，不等式不成立，故 B错误；
C：
b+m
a+n−b
a=(b+m)a−b(a+n)
(a+n)a=ma−nb
(a+n)a
， ，
m>n>0
，
∴am−bm>0
，即
b+m
a+n>b
a
，故
C正确；
D：令
a=1
， ，
a2>b2
不成立，故 D错误.
故选：C
变式 1-1．对于任意实数
a , b , c , d
，给定下列命题正确的是（）
A．若 ，则
ac >bc
B．若
a>b , c>d
，则
a−c>b−d
C．若
a c2>b c2
，则 D．若
a<b
，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值判断 A、B、D，根据不等式的性质证明 C；
【详解】
解：对于 A：当
c=0
时，若 则
ac=bc=0
，故 A错误；
对于 B：若
a=0
，
b=−1
，
c=−1
，
d=−10
，满足
a>b , c>d
，则
a−c=1
，
b−d=9
，
a−c>b−d
不
成立，故 B错误；
对于 C：若
a c2>b c2
，则
c2>0
，所以 ，故 C正确；
对于 D：若
a=−1
，
b=1
满足
a<b
，但是
1
a<1
b
，故 D错误；
故选：C
变式 1-2．对于实数 a，b，下列选项正确的是（）
A．若
a<b
，则
|
a
|
<
|
b
|
B．若
a<b
，则
C．若
a<b<0
，则
b
a<a
b
D．若
a<b<0
，则
a2<ab<b2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对各选项逐一分析即可得答案.
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