1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
【考点梳理】
考点一　空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O和一个单位正交基底，以 O为原点，分别以 i，j，k 的方向为正方向，以
它们的长为单位长度建立三条数轴：x
轴、 y
轴、 z
轴 ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标
系
Oxyz .
(2)相关概念：O
叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 Oxy
平面、
Oyz
平面、Ozx
平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x
轴 的正方向，食指指向 y
轴 的正方向，如果中指指向 z
轴 的正方向，则称
这个坐标系为右手直角坐标系．
考点二　空间一点的坐标
在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量OA，且点 A的位置由向量OA
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}
下与向量 OA 对应的有序实数组 ( x ， y ， z ) 叫做点 A在此空间直角坐标系中的坐标，记作 A ( x ， y ， z ) ，其中 x
叫做点
A的横坐标，y
叫做点 A的纵坐标，z
叫做点 A的竖坐标．
考点三　空间向量的坐标
在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作OA＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使 a
＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做 a在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，上式可简记作 a＝(x，y，z)．
考点四　空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)
减法 a－b a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)
数乘 λaλa＝( λa 1， λa 2， λa 3)，λ∈R
数量积 a·ba·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3
考点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
考点六　空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 P1P2＝|P1P2|＝.
【题型归纳】
题型一：空间向量的正交分解问题
1．（2021·全国·高二期中）已知向量 是空间向量的一组基底，向量 ， ， 是空间向量的另外一
组基底，若一向量 在基底 下的坐标为 ， ， ，则向量 在基底 ， ， 下的坐标为
（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
2．（2021·山东枣庄·高二期中）已知 ， ， ，若 ， ， 共面，则 z的值是
（ ）
A．B．5 C．D．9
3．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）已知向量 ，则与 共线的一个单位向量 （ ）
A．B．C．D．
题型二：空间向量的坐标运算问题
4．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量 ，则 （ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知空间向量 ， ， ，则
（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为 2的正方体 中， 是棱 上一动点，
点 是面 的中心，则 的值为（ ）
A．4 B．C．2 D．不确定
题型三：空间向量的模长的坐标问题
7．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二（理））设 、 ，向量 ， ， 且 ，
，则 （ ）
A．B．C．D．
8．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二（理））若向量 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
9．（2021·全国·高二）已知向量 ， ，若 与 夹角为 ，则 的值为（ ）
A．B．C．－1 D．1
题型四：空间向量的平行的坐标表示问题
10．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．4 C．D．
11．（2022·安徽滁州·高二期中）已知 ， ，若 ，则 m的值为（ ）
A．－2 B．2 C．D．
12．（2022·江西·南昌十中高二期中（理））设 ，向量 ，且 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：空间向量的垂直的坐标表示问题
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