1.1集合（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 16 4 593.06KB 12 页 3知币
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1.1 集合
【题型解读】
【知识储备】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 NN*(或N＋)Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn 图
子集 集合 A中所有元素都在集合 B中(即若
x∈A，则 x∈B)
A ⊆ B ( 或
B ⊇ A )
真子集
集合 A是集合 B的子集，且集合 B中至
少有一个元素不在集合 A中
A ⫋ B
( 或
B ⫌ A )
集合相等 集合 A，B中的元素相同或集合 A，B
互为子集
A ＝ B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn 图
交集 由属于集合 A且属于集合
B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合 A或属于
集合 B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集 U中不属于集合 A
的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
(2)三种运算的常见性质
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.
③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA ⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
【题型精讲】
【题型一　集合的基本概念】
必备技巧 解决集合概念问题的关键
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决
相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
例1　（2022·山东济南·二模）已知集合 ， ， ，则 C中元素的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，当 时， ，当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
例2　（2022·武汉校级月考）已知集合 A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】－
【解析】由题意得 m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 m＝－时，m＋2＝，
而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
例3　【多选】（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，若集合 A有且仅有 2
个子集，则 a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【解析】因为集合 仅有 个子集，所以集合 中仅有一个元素，
当 时， ，所以 ，所以 ，满足要求；
当 时，因为集合 中仅有一个元素，所以 ，所以 ，此时 或 ，满足
要求.
【题型精练】
1. （2022·宁夏银川·一模）已知集合 ， ，则 B中所含元素的
个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】 时， ，3，4，
时， ，3，
时， ，
时，无满足条件的 值；故共 6个，
故选：D．
2．（2022·全国高三课时练习）设 A＝，B＝{|a－2|,3}，已知 4∈A且4∉B，则 a的取值集合为________．
【答案】{4}
【解析】因为 4∈A，即 4∈，
所以 a2－3a＝4或a＋＋7＝4.
若a2－3a＝4，则 a＝－1或a＝4；
若a＋＋7＝4，即 a2＋3a＋2＝0，则 a＝－1或a＝－2.
由a2－3a与a＋＋7互异，得 a≠－1.
故a＝－2或a＝4.又4∉B，即 4∉{|a－2|,3}，
所以|a－2|≠4，解得 a≠－2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
3．（2022·全国高三课时练习）已知集合 A＝{x|ax23﹣x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则 a＝
_____．
【答案】0或
【解析】因为集合 A＝{x|ax23﹣x+2＝0，xR∈，aR}∈有且只有一个元素，
当a＝0时，ax23﹣x+2＝0只有一个解 x＝ ，
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