1 同角三角函数的基本关系（第三课时）学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章

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§1 同角三角函数的基本关系（第三课时）
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、掌握同角三角函数的基本关系式。
2、能应用同角三角函数的基本关系式化简、求值。
3、能应用同角三角函数的基本关系式证明恒等式。
重点：1、同角三角函数基本关系式。
2、同角三角函数基本关系式应用。
难点：三角恒等式的证明。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
【复习回顾】
1、同角公式
（1）平方关系：
sin2α+cos2α=1
；
（2）商数关系：
tan α=sin α
cos α
。
2、同角公式的变形（
sin α+cos α
，
sin α−cos α
和
sin αcos α
的关系式）
（1）
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α
；
（2）
(sin α−cos α)2=1−2 sin αcos α
；
（3）
；
（4）
(sin α+cos α)2−(sin α−cos α)2=4 sin αcos α
。
【练习检测】
1、已知
sin θ+cos θ
sin θ−cos θ=2
，则
sin θcos θ=
（ ）。
A．
3
4
B．
±3
10
C．
3
10
D．
−3
10
2、已知
tan (5π+α)=m
，则
sin(α−3π)+cos(π−α)
sin(−α)−cos(π+α)=
（ ）。
A．
m+1
m−1
B．
m−1
m+1
C．
−1
D．1
3、已知
sin αcos α=1
8
，则
sin α+cos α=
。
一、阅读教材 P141“同角三角函数的基本关系式综合应用”部分
1、化简与求值
例1化简：
（1）
1
sin α
√
1+tan 2α
（
α
为第二象限角）；
（2）
cos θ
1+cos θ−cos θ
1−cos θ
。
解：（1）原式
=1
sin α
√
1+sin 2α
cos2α
=1
sin α
√
cos2α+sin2α
cos2α
=1
sin α⋅1
|cos α|
=|cos α|
sin α=−cos α
sin α=− 1
tan α
。
（2）原式
=cos θ(1−cos θ)−cos θ(1+cos θ)
(1+cos θ)(1−cos θ)
=−2 cos2θ
1−cos2θ=−2 cos2θ
sin2θ=− 2
tan2θ
。
例2求值：
（1）
√
1−2 sin 400cos 400
cos 400−
√
1−cos2400
；
（2）
sin4α+sin2αcos2α+cos2α
；
（3）
sin210+sin220+⋯+sin2880+sin2890
。
解：（1）原式
=
√
sin2400−2sin 400cos 400+cos2400
cos 400−
√
sin2400
=
√
(sin 400−cos 400)2
cos 400−sin 400
=|sin 400−cos 400|
cos 400−sin 400
=−(sin 400−cos 400)
cos 400−sin 400=1
。
（2）原式
=sin 2α(sin 2α+cos2α)+cos2α
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