§1同角三角函数的基本关系（第二课时）学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章

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§1 同角三角函数的基本关系（第二课时）
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、掌握同角三角函数的基本关系式。
2、能应用同角三角函数的基本关系式求值。
3、理解
sin α+cos α
、
sin α−cos α
和
sin αcos α
关
系，能够“知一求二”。
重点：1、同角三角函数基本关系式。
2、同角三角函数基本关系式应用。
难点：
sin α+cos α
、
sin α−cos α
和
sin αcos α
关系，“之一求二”。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材 P140“同角三角函数的基本关系式综合应用”部分
1、“弦切互化”求值
例1已知
tan α=3
，求
。
解法一：（消元法求值）
∵tan α=sin α
cos α=3
，
∴tan α=3 cos α
，
∴sin α+cos α
sin α−cos α=3 cos α+cos α
3 cos α−cos α=4 cos α
2 cos α=2
。
解法：（弦化切法求值）
∵cos α≠0
，
∴sin α+cos α
sin α−cos α=
sin α
cos α+1
sin α
cos α−1
=tan α+1
tan α−1=3+1
3−1=2
。
例2已知
tan α=3
，求下列各式的值：
（1）
sin2α−cos2α
sin αcos α
；
（2）
sin2α−2 cos2α+sin αcos α
；
（3）
sin2α−2 sin αcos α+1
cos2α−sin2α
。
解（1）原式
=
sin2α
cos2α−1
sin αcos α
cos2α
=tan2α−1
tan α=32−1
3=8
3
；
（2）原式
=sin 2α
cos2α−2+sin αcos α
cos2α=tan2α−2+tan α=32−2+3=10
。
（求解后让学生观察是否正确，错在什么地方？启发学生应该怎么处
理？）
正确解法：原式
=sin 2α−2 cos2α+sin αcos α
sin 2α+cos2α=tan2α−2+tan α
tan2α+1=10
10 =1
。
（3）原式
=sin 2α−2 sin αcos α+(sin 2α+cos2α)
cos2α−sin 2α
=2 sin2α−2 sin αcos α+cos2α
cos2α−sin 2α
=2 tan2α−2 tan α+1
1−tan2α=−13
8
。
思考：已知
tan α=3
，能否用“化切法”求
sin α+cos α+1
sin α−cos α
的值？为什么？
如何求值？
点评：“弦化切法”只能求
sin α
和
cos α
“齐次分式”或能化成“齐次分
式”的整式的值。对于“2次齐次整式”或 2次齐次式中含有常数时，利
用“1的代换”（即
sin2α+cos2α=1
）进行处理。
2、利用
sin α+cos α
，
sin α−cos α
和
sin αcos α
的关系式求值
（1）
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α
；
（2）
(sin α−cos α)2=1−2 sin αcos α
；
（3）
(sin α+cos α)2+(sin α−cos α)2=2
；
（4）
(sin α+cos α)2−(sin α−cos α)2=4 sin αcos α
。
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