《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究一 数列的求和（解析版）

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专题研究一 数列的求和
编写：廖云波
题型一 倒序相加法求和
【例 1-1】已知函数 ，数列 满足 ，则
（）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【分析】先求得 ，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．令 ，
则 ，两式相加得 ，
∴ ．
故选:A
归纳总结：
【练习 1-1】已知正数数列 是公比不等于 1的等比数列，且 ，试用推导等差数列前𝑛项和的方
法探求：若 ，则 （）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【答案】D
【分析】利用 ，再等差数列前𝑛项和的方法倒序相加法求和即可.
【详解】 ，
∵函数
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴.
故选：D.
题型二 列项相消法
【例 2-1】数列 的通项公式为 ，若该数列的前 项之和等于 ，则 _______.
【答案】
【分析】利用裂项相消法可得出关于 的等式，即可解得 的值.
【详解】设数列 的前 项和为 ，因为 ，
所以， ，解得 .
故答案为： .
【例 2-2】已知等差数列 满足： ， ， 的前 项和为 ．
(1)求及；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项的知识，由 ，可得 ，即 ，由 ，可求得该数列公
差 ，可得答案；
（2）由（1）所得 ，根据裂项，可得 ，再求和，可得答案.
（1）
由 ，则 ，即 ，
因此，数列 的公差 ，
即 ，且 .
（2）
由 ，则 ，
即.
【例 2-3】已知数列 的首项为 3，且 ．
(1)证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；
(2)对 裂项求和即可.
(1)
因为 ，所 ，
则 ，所以数列 是以 为首项，公差等于 1的等差数列，
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