《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究五 导数与不等式综合问题（解析版）

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专题研究五 导数与不等式综合问题
编写：廖云波
题型一 导数与三角函数
【例 1-1】已知 ，其中 ．
（1）若 在 处取得极值，求实数 的值．
（2）若 在 ， 上单调递增，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） ，（2分）
由 可得 ， ；（4分）
经检验， 满足题意．（5分）
（2） 函数 在 单调递增． 在 上恒成立．（7分）
即 在 上恒成立．即
， （10 分） ．（11 分）
检验， 时， ， ，仅在 处取得．所以满足题意．
．（12 分）
【例 1-2】已知函数 ．
（1）证明：函数 在 上单调递增；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【解析】解：（1）证明： ，
因为 ，所以 ， ，
于是 （等号当且仅当 时成立）．
故函数 在 上单调递增．
（2）由（1）得 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
（ⅰ）当 时， 成立．
（ⅱ）当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
故 时， ．
由 式可得 ，
令 ，则
由 式可得
令 ，得 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 使得 ，
即 时， ，
所以 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
即 时， ，与 矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ， ．
归纳总结：
【练习 1-1】已知 ．
（1）若 在 上单调，求实数 的取值范围；
（2）证明：当 时， 在 ， 上恒成立．
【解析】解：（1） （1分）
若 在 上单调递增，则当 ， 恒成立，
当 时， ，
此时 ； （4分）
若 在 上单调递减，同理可得 （5分）
所以 的取值范围是 （6分）
（2） 时， （7分）
当 ， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
（9分）
存在 ，使得在 ， 上 ，在 ， 上 ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减 （11 分）
故在 ， 上， ， ，
所以 在 ， 上恒成立 （12 分）
题型二 导数与数列
【例 2-1】已知 a>0 且函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；
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