《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究四 双变量与极值点偏移问题（解析版）

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专题研究四 双变量与极值点偏移问题
编写：廖云波
题型一 双变量问题
【例 1-1】已知函数 ，
(1)讨论 的极值点个数；
(2)若 在 内有两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，令 ，讨论 的正负情况判断函数单调性即可得出；
（2）根据题意可得 ，构造函数 ，利用导数求出单调性，
不等式化为 ，求出 的范围即可根据 求出.
(1)
，令 ， ，
当 时， ，即 ，则 在 上单调递减，无极值点；
当 时， 有两个零点 ， ，
当 ， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 在 处取极小值，在 取极大值，有 2个极值点，
综上，当 时，无极值点，当 时，有 2个极值点；
(2)
由题意可得 在 有两个零点 ，故 且 ，所以 ，
由 得 ，故 ，同理 ，
又 ，所以 ，
结合 知 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，又 ，
所以 即 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 .
归纳总结：
【练习 1-1】已知函数 ．
(1)若函数 的最小值为 ，且对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)当 且 时，试比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求导分析函数 的单调性，结合函数 的最小值为 ，可以求出 的值，再根据题意得 ，
再求函数 的最值即可求解；（2）构造函数 ，分析单调性，结合条件即可判断大小.
(1)
由题可知 的最小值为 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，没有最小值，不合题意；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， 取到最小值，所以 ，
故 ，因为 恒成立，故 ，
令 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，令 ，解得 ，所以 在 单调递增，
故可知 ，所以实数 的取值范围： .
(2)
令 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，
综上所述，当 时， ，所以由 得， ；
当 时， ，所以由 得， ．.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分
类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
题型二 极值点偏移
【例 2-1】已知函数 ．
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