《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究三 利用导数证明不等式（解析版）

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专题研究三 利用导数证明不等式
编写：廖云波
题型一 构造函数证明不等式
【例 1】已知函数 (为自然对数的底数， 为常数)的图像在(0，1)处的切线斜率为 .
(1)求 的值及函数 的极值；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1) ， 极小值 ， 无极大值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数 求导得到 ，由导数的几何意义得到 ，解得 ，再利用导数研究其单调性和极值，
即可得出；
（2）令 ，对其求导，结合（1）可得： ，得到 的单调性，即可证明.
(1)
由 ，得 .
由题意得， ，即 ，
所以 ， .
令 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增．
所以当 时， 取得极小值，且极小值为 ，
无极大值．
(2)
证明：令 ，则 .
由(1)知， ，
故 在 上单调递增．
所以当 时， ，
即.
【点睛】
本题考查不等式的恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1) 恒成立 恒成立 ；
(2) 恒成立 恒成立 .
【练习 1】已知函数 的最小值为 ．
(1)求实数 的值；
(2)求证：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分类讨论 的取值范围，利用导数求解函数 的单调性，进而求解函数 的最值即可.
（2）构造函数 ，利用导数求解函数 在区间 上的单调性及最值，即可证明不等式.
(1)
（1）函数 定义域为 ， ．
①若 ，则 ， 在 上单调递增， 没有最小值；
②若 ，则由 ，得 ；由 ，得 ．因此， 在 上单调递减，在
上单调递增，
故,
解得 .
(2)
证明：由（1）知 ．
令 ，则
．
当 时， ， ，所以 （当且仅当 时“＝”号成立），所以 在 上单
调递减．
因此，当 时，有 ，即 ．
题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较（放缩法）
【例 2】已知函数 .
(1)若函数 f(x)的图象与直线 y＝x－1相切，求 a的值；
(2)若a≤2，证明 f(x)>ln x.
【答案】(1)a＝2
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导函数，令 f′(x)＝1，得 x＝0，继而有 f(0)＝－1，代入可求得答案；
（2）由已知得 f(x)＝ex－a≥ex－2，令 φ(x)＝ex－x－1，运用导函数分析所令函数的单调性得 φ(x)≥0，可证得 ex－
2≥x－1，当且仅当 x＝0时等号成立，令 h(x)＝lnx－x+1，运用导函数分析所令函数的单调性得 ，证
得 ，当且仅当 x＝1时等号成立，从而有 ex－2≥x－1≥ln x，两等号不能同时成立，由此可得证.
(1)
解：f(x)＝ex－a，∴f′(x)＝ex，令 f′(x)＝1，得 x＝0，
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