《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究二 正、余弦定理应用举例（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 26 4 1.43MB 20 页 3知币
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专题研究二 正、余弦定理应用举例
编写：廖云波
【回归教材】
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 α(如图②)．
3.方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4.坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
题型一 测量距离问题
【例 1-1】如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 、 的俯角分别为 、 ，此时气球的高是 ，则
河流的宽度 约等于（） ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： ， ，
， ， ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可先可将题目放置于矩形 中，然后通过 求出 ，通过 求出
，两者相减，即可得出结果.
【详解】
如图所示，作矩形 ，
因为从气球 上测得正前方的河流的两岸 、 的俯角分别为 、 ，
所以 ， ，
因为气球的高是 ，所以 ，
则 ， ， ，
， ， ，
，
故选：A.
归纳总结：
【练习 1-1】一艘船航行到点 A处时，测得灯塔 C在其北偏东 75°方向，如图所示随后该船以 15 海里/小时的速度，
向东南方向航行 2小时后到达点 B，测得灯塔 C在其北偏东 30 方向，此时船与灯塔 C间的距离为（）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D．30 海里
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理求解即可
【详解】
由题意可知， 海里，由正弦定理可得 ，解得 海里.
故选：B
题型二 测量高度问题
【例 2-1】如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点．从 点测得 点的仰角
点的仰角 以及 ；从 点测得 ．已知山高 ，则山高
（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解直角三形再结合正弦定理可求解.
【详解】
在Rt 中， ，所以 ．
在 中， ，从而 ，
由正弦定理得， ，因此 ．
在Rt 中，
故选：A
．
归纳总结：
【练习 2-1】如图， 三点在地面同一直线上，从地面上 C，D两点望山顶 A，测得它们的仰角分别为 45°和
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