《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究二 数列的综合应用（解析版）

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专题研究二 数列的综合应用
编写：廖云波
题型一 等差、等比的综合应用
【例 1-1】已知集合 ， ，将 中所有元素按从小到大的顺序排
列构成数列 ，设数列 的前 n项和为 ．
（1）若 ，求 m的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）2282.
【解析】（1）由 ，则数列 中前 m项中含有 A中的元素为 2，4，6，…，26，共有 13 项，有 B
中的元素为 3，9，27，共有 3项，从而得出答案.
（2）根据题意可得数列 中前 50 项中含有 B中的元素为 3，9，27，81 共有 4项，数列 中前 50 项中
含有 A中的元素为 ，共有 46 项，分组可求和.
【详解】解：（1）因为 ，
所以数列 中前 m项中含有 A中的元素为 2，4，6，…，26，共有 13 项，
数列 中前 m项中含有 B中的元素为 3，9，27，共有 3项，
所以 ．
（2）因为 ， ，
所以数列 中前 50 项中含有 B中的元素为 3，9，27，81 共有 4项
所以数列 中前 50 项中含有 A中的元素为 ，共有 46 项，
所以 ．
归纳总结：
【练习 1-1】已知等差数列 公差分别为 ，
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求 中既在数列 中，又在数列 中的所有数之和.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用已知求出 ， ，再利用等差数列的通项即得解；
（2）设 ，得到 ，设 是由数列 的公共项组成的数列，则 为首项
为3，公差为 12 的等差数列，即得解.
（1）
解：由 ，可得 ，联立 ，可得 ①，
令 ，可得 ，与 联立，可得 ，与
联立得 ②.
由① ② 得： .
（2）
解：设 ，则 ，得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
设 是由数列 的公共项组成的数列，
则 为首项为 3，公差为 12 的等差数列，且 .
在 中有 ，
所以 的前 8项和为 .
题型二 数列与不等式
【例 2-1】已知首项为 1的数列 的前 n项和为 ，且 ，数列 的前 n项和为 ，
若 ，且 ，则 ___________.
【答案】0
【分析】先由 得到 ，利用 与 的关系证明 是等差数列，进而求出 、
，再利用裂项抵消法求出 ，再分 为奇数、偶数利用放缩法进行求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，当 时， ， ；
可知当 时， ， ，
两式相减整理，得 ，
所以 是以 1为首项，0为公差的等差数列，
所以 ， ，
所以 ，
所以
，
等价于 ；
当n是正奇数时， ，
因为 ，所以 ；
当n是正偶数时， ，
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