《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究二 零点问题（解析版）

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专题研究二 零点问题
编写：廖云波
题型一 零点个数问题
【例 1】已知函数 ，讨论函数 的零点的个数.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
设 ，利用导数判断出单调性并画出图象，结合图象可得答案.
【详解】
由 得 ， 设 ，
则 ，
令 ，得 ，此时 单调递增，
令 ，得 ，此时 单调递减，
即当 时，g(x)取得极大值即 ，
由 ， 单调递增， 可得 与 x轴只有一个交点，
由 ， 单调递减， 可得 与 x轴没有交点，
画出 的大致图象如图， 可得 m≤0 或m=时， 有 1个零点；
当0<m<时， 有 2个零点；当 m>时， 没有零点.
综上所述，当 m≤0 或m=时， 有 1个零点；
当0<m<时， 有 2个零点；
当m>时， 没有零点.
【练习 1】已知函数 ．
(1)求证： 的极小值为 0；
(2)讨论方程 实数解的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求解函数 的单调性，即可判断 的极小值；
（2）由题意可知方程 等价于 或 时 ，构造函数 ，利用导数
求解函数 的单调性及最值，分类讨论 的取值范围即可.
(1)
解：由题得 ，
所以当 时， ， 在 单调递增；
所以当 时， ， 在 单调递减．
所以， 的极小值为 ．
(2)
解：方程 等价于 或 时 ．
令 ，则 ，由 ，
随x的变化可得 ， 情况变化如下：
2
- + 0 -
极大值
故极大值 ，
先证明一个结论：当 ，不等式 恒成立.
证明：设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故不等式 恒成立.
对任意的 ，则当 时，有 ①.
又当 时，方程 无实数解；
当 时， ， ，
故 在 上有一个零点，
而 ， ， ，
结合①可得 在 上有两个零点，故方程 有 3个实数解；
当 时， ， ，
故 在 上有一个零点，
而 ，故 在 上有一个零点即方程 有 2个实数解；
当 时，同理有 在 上有一个零点，
而 ，故 在 上无零点即方程 无实数解；
故方程 有 1个实数解；
综上：当 时，方程 有 1个实数解；
当 时，方程 有 4个实数解：
当 时，方程 有 3个实数解；
当 时，方程 有 2个实数解；
题型二 零点问题求参数范围
【例 2】已知函数 ；
(1)若直线 与函数 的图像相切，求实数 的值：
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