《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究 平面向量的综合应用（原卷版）

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专题研究 平面向量的综合应用
编写：廖云波
【知识提炼】
1.三角形的“四心”
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距
离之比为 2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内
心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形“四心”的向量表示
在 中，角 所对的边分别为 .
（1）三角形的重心： 是 的重心.
（2）三角形的垂心： 是 的垂心.
（3）三角形的内心： 是 的内心.
（4）三角形的外心： 是 的外心.
题型一 向量在物理、几何中的应用
【例 1-1】如图，一个力 作用于小车 G，使小车 G发生了 40 米的位移， 的大小为 50N，且与小车的位移
方向（ 的方向）的夹角为 ，则力 做的功为（）
A．1000J B．C．2000J D．500J
【例 1-2】一条东西方向的河流两岸平行，河宽 ，河水的速度为向正东 ．一艘小货船准备从
河南岸码头 P处出发，航行到河对岸 Q（ 与河的方向垂直）的正西方向并且与 Q相距 的码头 M处
卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 ，则当小货船的航程最短时，小货船航行
速度的大小为（）
A．B．C．D．
【例 1-3】如图，在平行四边形 中，点 是 的中点， 是 的三等分点（ ，
）.设 ， .
(1)用 表示 ；
(2)如果 ，用向量的方法证明： .
归纳总结：
【练习 1-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽 ，河水的速度为向东 2 .一艘小货船准备从河
南岸的码头 A处出发，航行到位于河对岸 B（AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与 B相距 250 的码头 C
处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 6，则当小货船的航程最短时，小货船航
行的速度大小是___________ .
【练习 1-2】在 中， ，对任意 ，有 .
（1）求角 ； （2）若 ， ，且 、 相交于点 .求证： .
题型二 向量与三角函数
【例 2-1】已知向量 ，设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）在 中， 分别是角 的对边，若 ，且 ，求 的面积.
【例 2-2】在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a
，
b
，
c，设向量 ， .
(1)若 ， ，求 A； (2)若 ， ， 为锐角，求 的值.
【例 2-3】已知 分别为 内角 的对边， .
（1）求 （2）已知 且 ，求 的长.
归纳总结：
【练习 2-1】在等腰直角三角形 中，已知 ，点 D，E分别在边 ， 上， .
(1)若D为 的中点，三角形 的面积为 4，求证：E为 的中点； (2)若 ，求 的面
积.
题型三 “四心”问题
【例 3-1】点O，N，P满足 ， ， ，则点
O，N，P依次是△ABC 的（）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
【例 3-2】若O在△ABC 所在的平面内，a，b，c是△ABC 的三边，满足以下条件 ，
则O是△ABC 的（）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
归纳总结：
【练习 3-1】如图，O为 的外心， ， ，则 __
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