《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究 平面向量的综合应用（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 13 4 1.57MB 27 页 3知币
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专题研究 平面向量的综合应用
编写：廖云波
【知识提炼】
1.三角形的“四心”
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距
离之比为 2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内
心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形“四心”的向量表示
在 中，角 所对的边分别为 .
（1）三角形的重心： 是 的重心.
（2）三角形的垂心： 是 的垂心.
（3）三角形的内心： 是 的内心.
（4）三角形的外心： 是 的外心.
题型一 向量在物理、几何中的应用
【例 1-1】如图，一个力 作用于小车 G，使小车 G发生了 40 米的位移， 的大小为 50N，且与小车的位移
方向（ 的方向）的夹角为 ，则力 做的功为（）
A．1000J B．C．2000J D．500J
【答案】A
【解析】
【分析】
利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可．
【详解】
解：因为 且 与小车的位移方向的夹角为 ，
又力 作用于小车 ，使小车 发生了 40 米的位移，
则力 做的功为 ．
故选：A．
【例 1-2】一条东西方向的河流两岸平行，河宽 ，河水的速度为向正东 ．一艘小货船准备从
河南岸码头 P处出发，航行到河对岸 Q（ 与河的方向垂直）的正西方向并且与 Q相距 的码头 M处
卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 ，则当小货船的航程最短时，小货船航行
速度的大小为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速
度的大小．
【详解】
解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段 ，设小货船航行速度为 ，水流的速度为 ，水
流的速度与小货船航行的速度的合速度为 ，作出示意图如下：
， ，在 中，有 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以小货船航行速度的大小为 ，
故选：C.
【例 1-3】如图，在平行四边形 中，点 是 的中点， 是 的三等分点（ ，
）.设 ， .
(1)用 表示 ；
(2)如果 ，用向量的方法证明： .
【答案】(1) ，.
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量基本定理表示出 ；
（2）利用 数量积为 0证明 .
(1)
因为点 是 的中点，所以 .
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