《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》专题研究 概率与统计的综合问题（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 11 4 712.74KB 17 页 3知币
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专题研究 概率与统计的综合问题
编写：廖云波
题型一 概率、统计与函数
【例 1】某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用
电量不超过 200 千瓦时的部分按 元/千瓦时收费，超过 200 千瓦时但不超过 400 千瓦时的部分按 元/千
瓦时收费，超过 400 千瓦时的部分按 元/千瓦时收费.
(1)求某户居民的用电费用 （单位：元）关于月用电量 （单位：千瓦时）的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年 1月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所
示的频率分布直方图.若这 100 户居民中今年 1月份用电费用小于 260 元的占 ，求 的值；
(3)根据（2）中求得的数据计算用电量的 分位数和平均数.
【答案】(1)
(2)
(3)电量的 分位数为 375 千瓦时.平均数 275 千瓦时
【分析】（1）根据题目条件，列出函数解析式即可；
（2）将 代入（1）中解析式得到 的值，再结合频率分布直方图求 的值；
（3）根据百分位数和平均数的定义，结合频率分布直方图中的数据，计算即可.
（1）
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
所以 与 之间的函数解析式为
（2）
由（1）可知，当 时， ，即用电量小于 400 千瓦时的占 ，
结合频率分布直方图可知，
解得 .
（3）
设75%分位数为 ，
由题图知，用电量低于 300 千瓦时的频率为
，
用电量低于 400 千瓦时的频率为 ，
所以 分位数在 内，所以 ，解得 ，
即用电量的 分位数为 375 千瓦时.
平均数=
千瓦时.
归纳总结：
【练习 1】某花店每天以每枝 8元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 18 元的价格出售．如果当
天卖不完，剩下的玫瑰花回收给农场，每枝可换取 3元．花店记录了 100 天玫瑰花的日销量（单位：枝），
整理得下表．
日销量
（枝）
14 15 16 17 1
819 20
频数 20 20 10 15 1
211 12
(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天销量 n（单位；枝， ）的函数
解析式；
(2)根据所列表格数据，以 100 天记录的日销量的频率作为概率．
①若花店两天的销量互不影响，求两天一共售出 30 枝玫瑰花的概率；
②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，求两种情况下一天利润的分布列，并以两种情况的利润的期望
值作为依据，判断应购进 16 枝还是 17 枝？
【答案】(1) ( )
(2)① ;② 分布列见解析，应购进 17 枝.
【分析】（1）根据利润等于总收入减去进货总价，再加上退货收入即可得出答案；
（2）设购进 16 枝玫瑰花时，一天的利润为 ，写出 的所有可能取值，根据表格求出对应概率，再根据
期望公式求出 的期望，同理求出购进 17 枝玫瑰花时，一天的利润为 的期望，在比较期望的大小，即可
得出结论.
(1)
当 时， ( )；
当 时， .
所以 ( ).
(2)
①当一天销量为 14 枝另一天销量为 16 枝时，
两天一共售出 30 枝玫瑰花的概率为 ，
当两天销量都是 15 枝时，
两天一共售出 30 枝玫瑰花的概率为 ，
所以两天一共售出 30 枝玫瑰花的概率为 ；
②若花店计划一天购进 16 枝玫瑰花时，设一天的利润为 ，
则 可取 ，
，
，
，
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