《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第10课时 直线与抛物线位置关系（原卷版）

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第 10 课时 直线与抛物线位置关系
编写：廖云波
【回归教材】
1.直线与椭圆的位置关系
设直线 ，抛物线:，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于 x的方程
①若 k≠0，当 >0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当=0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当<0 时，直线与抛物线相离，无交点.
②若 k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
2.弦长的求解
当直线的斜率存在时，斜率为 k的直线 l与抛物线 C相交于
两个不同的点，则弦长 .
.
3.点差法
设 交点坐标为 ， ，代入抛物线 两式 相 减 ， 可 得 ，
.设线段 的中点为 ，即 ，
同理，对于抛物线 ，则有
4.抛物线的切线
过抛物线 上的点 的切线方程是 .
过抛物线 上的点 的切线方程是 .
【常用结论】
直线 AB 过抛物线 的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两
点，设 α为AB 的倾斜角
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝. （2）弦长 AB＝．
（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当 x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（4） ， ， ＋为定值.
（5）以 AB 为直径的圆与准线相切． （6）焦点 F对A，B在准线上射影的张角为 90°.
【典例讲练】
题型一 直线与抛物线的位置关系
【例 1-1】设直线 ，抛物线 ，当 为何值是， 与 相切 ？相交？相离？
【例 1-2】直线 与抛物线 有且只有一个公共点，则 ， 满足的条件是（ ）
A．B． ，
C． ， D． 或
归纳总结：
【练习 1-1】过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
题型二 焦点弦问题
【例 2-1】已知抛物线 的焦点为 是过 的直线与抛物线的两个交点，求
证：
（1） ；
（2） 为定值；
（3）以 为直径的圆与抛物线的准线相切．
（4） （ 为弦 AB 的倾斜角）．
【例 2-2】已知抛物线 及圆 ，过 的直线 l与抛物线 C和圆 M从上到下依次
交于 A，P，Q，B四点，则 的最小值为___________.
归纳总结：
【练习 2-1】已知过抛物线 焦点 F的直线与抛物线交于 A、B两点，且 ，则 _______.
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