《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第9课时 函数与方程（解析版）

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第 9 课时 函数与方程
编写：廖云波
【回归教材】
1、函数的零点
对于一般函数 ，我们把使 成立的实数 叫做函数 的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横坐标
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程 的
近似解就是求函数 零点的近似值．
【必记结论】
①若连续不断的函数
( )f x
是定义域上的单调函数，则
( )f x
至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交
点；
④函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交点
，其中 为常数.
【典例讲练】
题型一 零点所在区间
【例 1-1】函数 的零点所在的区间是（•••••••）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】
函数 是 上的连续增函数,
,
可得 ,
所以函数 的零点所在的区间是 .
故选：C
【例 1-2】【多选题】函数 的一个零点在区间 内，则实数 a的可能取值是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据初等函数的单调性判断函数 的单调性，根据零点存在定理可得 ，从而可
得结果.
【详解】
因为函数 在定义域 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
由函数 的一个零点在区间 内，
得 ，
解得 ,
故选：BC
【例 1-3】已知 是函数 的零点，则 _______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据零点定义可得 ，整理可得 ，根据此时可得 成立，代入化简
即可得解.
【详解】
根据题意可得 ，
整理可得 ，
可得当 ，即 成立，
又 ，
代入可得 .
故答案为： .
归纳总结：
【练习 1-1】已知函数 ，则 ________，函数 的零点为_______
_．
【答案】•••• ••••
【解析】
【分析】
根据给定的分段函数求出函数值即可，再直接求出方程的解作答.
【详解】
依题意， ，
由 得 ，即 ，解得 ，或 ，无解，
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