《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第09课时 抛物线及其性质（解析版）

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第 9 课时 抛物线及其性质
编写：廖云波
【回归教材】
1.抛物线的定义
平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F与准线垂直的直线对称，这条直线
叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线 l不经过点 F，若 l经过 F点，则轨迹为过定点 F且垂直于定直线 l的一条直线．
2.抛物线的几何性质
【典例讲练】
题型一 抛物线定义的应用
【例 1-1】设定点 ，动圆 过点 且与直线 相切，则动圆圆心 的轨迹方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，动圆圆心到定点 与到定直线 的距离相等，
标准方程
图 形
几
何
性
质
范 围
对称性 关于 x轴对称 关于 x轴对称 关于 y轴对称 关于 y轴对称
焦点
准线方程
顶 点 坐标原点(0，0)
离心率
焦半径公式
所以动圆圆心的轨迹是以 为焦点的抛物线，则方程为 .
故选 A.
【名师点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题.由题意，动圆圆心的轨迹是以 为焦点的抛物线，求得
，即可得到答案.
【例 1-2】抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由 到其焦点的距离求得 横坐标，进一步求得 纵坐
标，则答案可求.
【详解】
由题意知，焦点坐标为 ，准线方程为 ，
由 到焦点距离等于到准线距离，得 ，则 ，
，可得 ，
故选：A.
【例 1-3】已知 M为抛物线 上的动点，F为抛物线的焦点， ，则 的最小值为______
_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义求解.
【详解】
解：如图所示：
设点 M在准线上的射影为 D，
由抛物线的定义知 ，
∴要求 的最小值，即求 的最小值，
当D，M，P三点共线时， 最小，
最小值为 .
故答案为：4
【例 1-4】若M是抛物线 上一动点，点 ，设 是点 M到准线的距离，要使 最小，求
点M的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可求解.
【详解】
由题意，可知抛物线的焦点 ，
由抛物线的定义有 ,
所以 最小值为 ，此时点 为直线 与抛物线的交点，
而直线 的方程求得为： ，
所以有 ，解得 或 （舍），
所以
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