《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第08课时 直线与双曲线的位置关系（解析版）

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第 8 课时 直线与双曲线的位置关系
编写：廖云波
【回归教材】
1.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程 与双曲线的方程 联立成方程组，消元转化为关于 x或y
的一元二次方程，其判别式 为
若 即 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若 即 ，
①Δ＞0直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
2.直线与双曲线的相交弦
设直线 交双曲线 于点 两点，则
=
或
3.双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化
【典例讲练】
题型一 直线与双曲线位置关系
【例 1-1】已知双曲线 x2
－
y2=4，直线 l：y=k(x
－
1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【解析】联立方程组
{
y=k(x−1)¿¿¿¿
消去 y，并依 x聚项整理得：(1
－
k2)·x2+2k2x
－
k2
－
4=0 ①
(1)当1
－
k2=0 即k=±1 时，方程①可化为 2x=5，x=
5
2
，方程组只有一组解，
故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1
－
k2≠0 时，即 k≠±1，此时有 Δ=4·(4
－
3k2)若4
－
3k2>0(k2≠1)，
则k∈
(
−2
√
3
3,−1
)
∪(−1,1 )∪
(
1,2
√
3
3
)
，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.
(3)若4
－
3k2=0(k2≠1)，则 k=±
2
√
3
3
，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).
(4)若4
－
3k2<0 且k2≠1 则k∈
(
−∞,−2
√
3
4
)
∪
(
2
√
3
3,+∞
)
，方程组无解，故直线与双曲线无交点.
综上所述，当 k=±1 或k=±
时，直线与双曲线有一个公共点；
当k∈
(
−2
√
3
3,−1
)
∪(−1,1 )∪
(
1,2
√
3
3
)
时，直线与双曲线有两个公共点；
当k∈
(
−∞,−2
√
3
3
)
∪
(
2
√
3
3,+∞
)
时，直线与双曲线无公共点.
【例 1-2】若过点 的直线 与双曲线 :的右支相交于不同两点，则直线 斜率的取值范围为
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