《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第08课时 离散型随机变量的分布列、均值与方差（解析版）

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第 8 课时 离散型随机变量的分布列、均值与方差
编写：廖云波
【回归教材】
1.离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)
的概率 P(X＝xi)＝pi，则称表
为离散型随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0 ， i ＝ 1,2 ，…， n ； ② p1＋ p 2＋…＋ p i＋…＋ p n＝ 1 .
2.期望与方差
(1)离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量
X
所有可能的取的值是
1
x
，
2
x
，…，
n
x
，这些值对应的概率是
1
p
，
2
p
，…，
n
p
，则
1 1 2 2
( ) n n
E x x p x p x p  
，叫做这个离散型随机变量
X
的均值或数学期望（简称期
望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
(2)离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量
X
所有可能取的值是
1
x
，
2
x
，…，
n
x
，这些值对应的概率是
1
p
，
2
p
，…，
n
p
，则
叫做这个离散型随机变量
X
的方差．
3.离散型随机变量的期望与方差性质
(1)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
( )D X
的算术平方根
( )D x
叫做离散型随机变量
X
的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的
量．
(2)
X
为随机变量，
a b，
为常数，则
2
( ) ( ) ( ) ( )E aX b aE X b D aX b a D X   ，
；
(3)二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量
X
的期望取值为
p
，在
n
次二点分布试验中，离散
型随机变量
X
的期望取值为
np
．
4.两点分布
如果随机变量 X的分布列为
其中 0<p<1，则称离散型随机变量 X服从两点分布．其中 p＝P(X＝1)称为成功概
率．
4.超几何分布
一般地，设有 N件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中任取 n(n≤N)件产品，用 X表示取出的 n件产品中次品
的件数，那么 P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．即
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X x1x2…xi…xn
P p1p2…pi…pn
X0 1
P1－pp
X0 1 …m
P…
如果随机变量 X的分布列具有上式形式，那么称随机变量 X服从超几何分布
【典例讲练】
题型一 随机变量的概念
【例 1-1】写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果：
(1)将10 个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号 1~10，现从袋中任取 1个球，被取出的球的编号为
X；
(2)将15 个质地、大小一样的球装入袋中，其中 10 个红球，5个白球，现从中任取 4个球，其中所含红球的
个数为 X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为 X.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析.
【分析】(1)所取球的编号 X是离散型随机变量， 可能取 1，2， ，10，如 表示取出的是 1号球；
(2)从中任取 4个球，所含红球的个数 为离散型随机变量， 可能取 1，2，3，4，如 表示取出 2个
红球，2个白球；
(3)骰子两次的点数之和 为离散型随机变量， 可能取 2，3， ，12，如 表示第一次的点数为 1，
第二次的点数为 1.
(1)
的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；
表示取出 k号球；
(2)
的可能取值为：0，1，2，3，4；
表示取出 k个红球， 个白球，
其中 ；
(3)
的可能取值为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12；
若以 表示投掷甲、乙两枚均匀骰子后骰子甲得 i点且骰子乙得 j点，
则 表示 ，
表示 ，
表示 ，
表示 ，
表示 ，
表示 ，
表示 ，
表示 ，
表示 ，
表示 ，
表示 .
归纳总结：
【练习 1-1】写出下列随机变量可能的取值，并且说明随机变量所表示的意义.
(1)一个袋中装有 2个白球和 5个黑球，从中任取 3个球，其中所含白球的个数 ；
(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为 ，所得点数的最大值为 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】(1)根据 的意义确定其可能的取值，再确定取各值时所表示的随机事件；(2) 根据 ， 的意义确
定其可能的取值，再确定取各值时所表示的随机事件；
(1)
的所有可能取值为 0，1，2．“ ”表示所取 3个球没有白球；“ ”表示所取 3个球是 1个白球，
2个黑球；“ ”表示所取 3个球是 2个白球，1个黑球．
(2)
的所有可能取值为 2，3，4，5，……，12， 的所有可能取值为 1，2，3，4，5，6，若以
表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则
“ ”表示 ；“ ”表示 ， ；
“ ”表示 ， ， ；“ ”表示 ， ， ， ；“ ”表示 ，
， ， ， ；
“ ”表示 ， ， ， ， ， ；
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