《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第07课时 双曲线及其性质（原卷版）

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第 7 课时 双曲线及其性质
编写：廖云波
【回归教材】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做
，两焦点间的距离叫做 ．
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c为常数且 a>0，c>0.
(1)当 时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 时，P点不存在．
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围 x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴： 　对称中心：
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈ ，其中 c＝
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ，线段 B1B2叫做
双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ；a叫做双曲线的实半轴长，b
叫做双曲线的虚半轴长
a，b，
c的关
系
c2＝ (c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
(1)方程形式为 ；
(2)渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
(3)实轴长和虚轴长都等于 ，离心率 ．
【典例讲练】
题型一 双曲线的定义及其应用
【例 1-1】已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切，求动圆
圆心 M的轨迹方程（ ）
A．x2－ ＝1(x≤－1) B．x2－ ＝1
C．x2－ ＝1(x1) D． －x2＝1
【例 1-2】已知双曲线 的左焦点为 ，M为双曲线 C右支上任意一点，D点的坐标为 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B．1 C．D．
【例 1-3】已知双曲线 的两个焦点分别为 、 ， 为双曲线上一点，且 ，则
的面积为_________.
归纳总结：
【练习 1-1】已知圆 ，动圆 过点 ，且圆与圆 外切，则动圆 的圆心 的轨迹
方程是___________.
【练习 1-2】过双曲线 的右支上的一点 P分别向圆 和圆 作切
线，切点分别为 M，N，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
题型二 双曲线的标准方程
【例 2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点 ， ，一个顶点为 ；
(2)一个焦点为 ，离心率为 3；
(3)一条渐近线为 ，且过点 ；
(4)经过点 ， .
归纳总结：
【练习 2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过点 ， ； (2)焦点为 ， ，经过点 ；
(3) ，经过点 ；
【练习 2-2】已知双曲线 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为 1，则 __________
_；若双曲线 与 不同，且与 有相同的渐近线，则 的方程可以为___________.（写出一个答案即可）
题型三 双曲线的渐近线
【例 3-1】已知双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线 E的焦距等于______.
【例 3-2】已知 为双曲线 的焦点，过 作 轴的垂线交 于点 ，且
，则 的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
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