《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第07课时 双曲线及其性质（解析版）

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第 7 课时 双曲线及其性质
编写：廖云波
【回归教材】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做
双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c为常数且 a>0，c>0.
(1)当2 a <| F 1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2 a ＝ | F 1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2 a >| F 1F2|时，P点不存在．
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围 x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1 ，＋ ∞ ) ，其中 c＝
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2 a ，线段 B1B2叫做双
曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2 b ；a叫做双曲线的实半轴长，b叫
做双曲线的虚半轴长
a，b，
c的关
系
c2＝a 2
＋ b 2
(c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
(1)方程形式为 ；
(2)渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
(3)实轴长和虚轴长都等于 ，离心率 ．
【典例讲练】
题型一 双曲线的定义及其应用
【例 1-1】已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切，求动圆
圆心 M的轨迹方程（ ）
A．x2－ ＝1(x≤－1) B．x2－ ＝1
C．x2－ ＝1(x1) D． －x2＝1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线定义求解
【详解】
,则
根据双曲线定义知 的轨迹为 的左半支
故选：A
【例 1-2】已知双曲线 的左焦点为 ，M为双曲线 C右支上任意一点，D点的坐标为 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B．1 C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线定义把 转化为 到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．
【详解】
设双曲线 C的实半轴长为 ，右焦点为 ，
所以 ，
当且仅当 M为 的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
【例 1-3】已知双曲线 的两个焦点分别为 、 ， 为双曲线上一点，且 ，则
的面积为_________.
【答案】9
【解析】
【分析】
利用双曲线定义结合勾股定理求出 ，再计算面积作答.
【详解】
依题意，双曲线 的焦点 、 ， ，
因 ，则有 ，
即有 ，解得 ，
所以 的面积 .
故答案为：9
归纳总结：
【练习 1-1】已知圆 ，动圆 过点 ，且圆与圆 外切，则动圆 的圆心 的轨迹
方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两圆外切条件，得到 M点满足的等量关系，再结合双曲线的定义，即可进行求解.
【详解】
设圆 M的圆心为 ，由题意可得圆 C的圆心为 ，半径 ，
因为动圆 过点 ，且圆与圆 外切，
则 ，即点 的轨迹为双曲线的右支，
由双曲线的性质可知该双曲线的实轴长 ，焦距 ，则 ，
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