《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第07课时 古典概型（解析版）

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第 7 课时 古典概型
编写：廖云波
【回归教材】
1.古典概型的定义
试验具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个．
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验 E是古典概型，样本空间 包含 n个样本点，事件 A包含其中的 k个样本点，则定义事件 A
的概率 =，其中 和 分别表示事件 A和样本空间 包含的样本点个数．
【典例讲练】
题型一 古典概型的辨析
【例 1-1】下列是古典概型的是（）
①从 6名同学中，选出 4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为 7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据古典概型中基本事件的个数是有限的，且每个基本事件等可能这两个特点逐一判断，即可得
出结论.
【详解】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，
符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性，
受多方面因素影响.
故选：B.
归纳总结：
【练习 1-1】下列概率模型中，是古典概型的个数为（）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到 1的概率；
（2）从 1～10 中任意取一个整数，求取到 1的概率；
（3）在一个正方形 ABCD 内画一点 P，求 P刚好与点 A重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据古典概型的有限性和等可能性逐个辨析即可
【详解】第 1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不
满足“有限性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有 10 个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和
等可能性；
第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形 ABCD 内画一点 P，有无数个点，不满足“有限性”；
第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
故选：A.
题型二 古典概型的计算
【例 2-1】从2至8的7个整数中随机取 2个不同的数，则这 2个数互质的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从 2至8的7个整数中随机取 2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共 7种，
故所求概率 .
故选：D.
【例 2-2】在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了 个演唱节目， 个舞蹈节目参加社区慰问演
出．（结果用数字作答）
(1)若从 个节目中选 个参加市演出汇报，求 3个节目中恰有 1个舞蹈节目的选法种数；
(2)现对 个节目安排演出顺序，求 个演唱节目接在一起的概率；
(3)现对 个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率．
【答案】(1)12 (2) (3)
【分析】（1）从 2个舞蹈节目选 1个，再从 4个演唱节目里选 2个，可得答案.
（2）求出 6个节目全排列共有的排法，再计算将 4个演唱节目看作一个整体，内部全排列，和 2个舞蹈节
目全排列的排法数，根据古典概型的概率公式求得答案;
（3）先排甲，再排其余节目，根据古典概型的概率公式求得答案;
(1)
由题意可得 3个节目中恰有 1个舞蹈节目的选法种数有 （种）；
(2)
6个节目全排列共有 种排法，
将4个演唱节目看作一个整体，内部全排列，和 2个舞蹈节目全排列，共有 种排法，
因此记“4个演唱节目接在一起的概率”为事件 ，则 ，
所以 4个演唱节目接在一起的概率 ；
(3)
节目甲不在第一个且不在最后一个演出,
则中间四个位置上选一个排甲，剩余节目再其余位置全排列，有 种排法，
记“节目甲不在第一个且不在最后一个演出”为事件 ，
故 ，
所以节目甲不在第一个且节目乙不在最后一个演出的概为 .
归纳总结：
【练习 2-1】随机掷一枚骰子，正面向上的点数记为a，则使关于x的方程无实数解的概率为
_____．
【答案】
【分析】根据 求出符合题意的 的值，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意 的值可以为 1，2，3，4，5，6，
若方程无实数解，则 ，即 ，即当或时满足方程无实数根，
使方程无实数解的概率为 ．
故答案为： ．
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