《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第6课时 对数与对数函数（解析版）

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第 6 课时 对数与对数函数
编写：廖云波
【回归教材】
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，读
作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常见对数：
①常用对数：以 为底，记为 ； ②自然对数：以 为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① ； ；其中 且 ；② (其中 且 ， )；
③对数换底公式： ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ， ；
⑦ 和 ； ⑧ ；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且 叫做对数函数．
图象
x
y
x
=1
(1,0)
x
a
log
O
x
=1
(1,0)
x
a
log
O
性质 定义域：
值域：
过定点 ，即 时，
在 上增函数 在 上是减函数
当 时 ， ， 当 时 ， 当 时， ，当 时，
【方法技巧与总结】
1.对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当 时，随 的增大，对数函数的图象愈靠近 轴；
当 时，对数函数的图象随 的增大而远离 轴．(见右图)
【典例讲练】
题型一 对数式的运算
【例 1-1】(1) ；
(2) ；
(3)2log32－log3＋log38－ ；
【答案】(1)
(2)-1
(3)－1
【解析】
(1)原式 .
(2)
(3)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
【例 1-2】（1）已知 ， ，试用 表示 ；
（2）已知 ， ，试用 表示 ．
【答案】（1） ；（2）.
【解析】
【分析】
y
x
1
1
a
增大
a
增大
x
x
x
x
a
4
a
3
a
2
a
1
log
log
log
log
O
（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.
【详解】
（1） ， ，
， ，
；
（2） ， ，
．
归纳总结：
【练习 1-1】计算下列各题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
（2）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
(1)
解：因为 ，所以 、 ，
所以 ， ，
所以 ；
(2)
解：
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