《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第06课时 直线与椭圆的位置关系（原卷版）

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第 6 课时 直线与椭圆的位置关系
编写：廖云波
【回归教材】
1.直线与椭圆的位置关系
设直线 ，椭圆 ，
把二者方程联立得到方程组，消去 得到一个关于 的方程 .
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
2. 弦长的求解
当直线的斜率存在时，斜率为 k的直线 l与圆锥曲线 C相交于
两个不同的点，则弦长
.
3.中点弦问题
AB 为椭圆 的弦， ，
弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在直线的斜率为 ，
弦AB 的斜率与弦中点 M和椭圆中心 O的连线的斜率之积为定值 .
【典例讲练】
题型一 直线与椭圆的位置关系
【例 1-1】已知椭圆 C的两个焦点分别是 ､，且椭圆 C经过点 .
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)当m取何值时，直线 与椭圆 C：
①有两个公共点； ②只有一个公共点； ③没有公共点？
【例 1-2】已知直线 l： ，曲线 C： ，则直线 l与曲线 C的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【例 1-3】设椭圆 ，点 在椭圆上，求该椭圆在 P处的切线方程______.
【例 1-4】椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为______.
归纳总结：
【练习 1-1】不论 为何值，直线 与椭圆 有公共点，则实数 的范围是__.
【练习 1-2】已知圆锥曲线 上的点 的坐标 满足 ．
(1)说明 是什么图形，并写出其标准方程；
(2)若斜率为 1的直线 与 交于 轴右侧不同的两点 ， ，求直线 在 轴上的截距的取值范围．
题型二 弦长问题
【例 2-1】椭圆 C： 左右焦点为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 C上．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)经过点 ，倾斜角为 直线 l与椭圆交于 B，C两点，求 ．
【例 2-2】已知椭圆 及直线 ．
(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数 的取值范围；
(2)求直线被椭圆截得的最长弦的长度．
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